ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzp1m1 GIF version

Theorem eluzp1m1 9361
Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1m1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem eluzp1m1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 9104 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
21ad2antrl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3 zre 9070 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4 zre 9070 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 1re 7777 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
6 leaddsub 8212 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
75, 6mp3an2 1303 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
83, 4, 7syl2an 287 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
98biimpa 294 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
109anasss 396 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
112, 10jca 304 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
1211ex 114 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
13 peano2z 9102 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14 eluz1 9342 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
1513, 14syl 14 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
16 eluz1 9342 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
1712, 15, 163imtr4d 202 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
1817imp 123 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cr 7631  1c1 7633   + caddc 7635  cle 7813  cmin 7945  cz 9066  cuz 9338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339
This theorem is referenced by:  peano2uzr  9392  fzosplitsnm1  9998  fzofzp1b  10017  seq3m1  10253  monoord  10261  seq3id  10293  seq3z  10296  serf0  11133  fsumm1  11197  telfsumo  11247  fsumparts  11251  isumsplit  11272  ennnfonelemjn  11926
  Copyright terms: Public domain W3C validator