Theorem eluzp1m1 9141

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1m1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 8886	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2	1	ad2antrl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3		zre 8852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 8852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5		1re 7584	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		leaddsub 8013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
7	5, 6	mp3an2 1268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
8	3, 4, 7	syl2an 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
9	8	biimpa 291	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
10	9	anasss 392	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
11	2, 10	jca 301	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
12	11	ex 114	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
13		peano2z 8884	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14		eluz1 9122	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
16		eluz1 9122	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
17	12, 15, 16	3imtr4d 202	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	imp 123	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℝcr 7446  1c1 7448   + caddc 7450   ≤ cle 7620   − cmin 7750  ℤcz 8848  ℤ_≥cuz 9118

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119

This theorem is referenced by:  peano2uzr  9172  fzosplitsnm1  9769  fzofzp1b  9788  seq3m1  10033  monoord  10042  seq3id  10074  seq3z  10077  serf0  10911  fsumm1  10975  telfsumo  11025  fsumparts  11029  isumsplit  11050