Theorem eluzp1m1 9841

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1m1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9578	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2	1	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3		zre 9544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 9544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5		1re 8238	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		leaddsub 8677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
7	5, 6	mp3an2 1362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
8	3, 4, 7	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
9	8	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
10	9	anasss 399	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
11	2, 10	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
12	11	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
13		peano2z 9576	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14		eluz1 9820	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
16		eluz1 9820	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
17	12, 15, 16	3imtr4d 203	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	imp 124	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8091  1c1 8093   + caddc 8095   ≤ cle 8274   − cmin 8409  ℤcz 9540  ℤ_≥cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  peano2uzr  9880  fzosplitsnm1  10517  fzofzp1b  10536  seq3m1  10798  monoord  10810  seqf1oglem2  10845  seq3id  10850  seq3z  10853  serf0  11992  fsumm1  12057  telfsumo  12107  fsumparts  12111  isumsplit  12132  fprodm1  12239  pockthlem  13009  ennnfonelemjn  13103