ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecfcl GIF version

Theorem frecfcl 6424
Description: Finite recursion yields a function on the natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
frecfcl ((∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → frec(𝐹, 𝐴):ω⟶𝑆)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem frecfcl
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2189 . 2 recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))})) = recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))}))
21frecfcllem 6423 1 ((∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → frec(𝐹, 𝐴):ω⟶𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  {cab 2175  wral 2468  wrex 2469  Vcvv 2752  c0 3437  cmpt 4079  suc csuc 4380  ωcom 4604  dom cdm 4641  wf 5227  cfv 5231  recscrecs 6323  freccfrec 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-recs 6324  df-frec 6410
This theorem is referenced by:  frecsuclem  6425  frecuzrdgrcl  10428  frecuzrdgrclt  10433  seq3val  10476  seqvalcd  10477
  Copyright terms: Public domain W3C validator