Theorem frecfcl 6566

Description: Finite recursion yields a function on the natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
frecfcl	⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → frec(𝐹, 𝐴):ω⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem frecfcl

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 ⊢ recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔‘𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))})) = recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔‘𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))}))
2	1	frecfcllem 6565	1 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → frec(𝐹, 𝐴):ω⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2800  ∅c0 3492   ↦ cmpt 4148  suc csuc 4460  ωcom 4686  dom cdm 4723  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  recscrecs 6465  freccfrec 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-recs 6466  df-frec 6552

This theorem is referenced by:  frecsuclem  6567  frecuzrdgrcl  10662  frecuzrdgrclt  10667  seq3val  10712  seqvalcd  10713