ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecfcl GIF version

Theorem frecfcl 6302
Description: Finite recursion yields a function on the natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
frecfcl ((∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → frec(𝐹, 𝐴):ω⟶𝑆)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem frecfcl
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . 2 recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))})) = recs((𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥𝐴))}))
21frecfcllem 6301 1 ((∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → frec(𝐹, 𝐴):ω⟶𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  {cab 2125  wral 2416  wrex 2417  Vcvv 2686  c0 3363  cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  dom cdm 4539  wf 5119  cfv 5123  recscrecs 6201  freccfrec 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-recs 6202  df-frec 6288
This theorem is referenced by:  frecsuclem  6303  frecuzrdgrcl  10190  frecuzrdgrclt  10195  seq3val  10238  seqvalcd  10239
  Copyright terms: Public domain W3C validator