Theorem funiedgdm2vald 15882

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funvtxdm2val.a	⊢ 𝐴 ∈ V
funvtxdm2val.b	⊢ 𝐵 ∈ V
funvtxdm2vald.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
funvtxdm2vald.fun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
funvtxdm2vald.ne	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
funvtxdm2vald.dm	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
funiedgdm2vald	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))

Proof of Theorem funiedgdm2vald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funvtxdm2vald.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
2		iedgvalg 15867	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
4		funvtxdm2vald.fun	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
5		funvtxdm2vald.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		funvtxdm2vald.dm	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺)
7		funvtxdm2val.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
8		funvtxdm2val.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	7, 8	fun2dmnop0 11110	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
11	10	iffalsed 3615	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
12	3, 11	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  Vcvv 2802   ∖ cdif 3197   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ifcif 3605  {csn 3669  {cpr 3670   × cxp 4723  dom cdm 4725  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  2^nd c2nd 6301  .efcedgf 15854  iEdgciedg 15863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-en 6909  df-dom 6910  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-edgf 15855  df-iedg 15865

This theorem is referenced by:  funiedgvalg  15887  edgstruct  15914