Theorem grpasscan1 13135

Description: An associative cancellation law for groups. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplcan.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpasscan1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpasscan1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((𝑁‘𝑋) + 𝑌)) = 𝑌)

Proof of Theorem grpasscan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplcan.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grplcan.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		grpasscan1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grprinv 13123	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
6	5	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
7	6	oveq1d 5933	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑁‘𝑋)) + 𝑌) = ((0g‘𝐺) + 𝑌))
8	1, 4	grpinvcl 13120	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	1, 2	grpass 13081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑁‘𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑁‘𝑋) + 𝑌)))
10	9	3exp2 1227	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + (𝑁‘𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))))))
11	10	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + (𝑁‘𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑁‘𝑋) + 𝑌)))))
12	8, 11	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + (𝑁‘𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))))
13	12	3impia 1202	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑁‘𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑁‘𝑋) + 𝑌)))
14	1, 2, 3	grplid 13103	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
15	14	3adant2 1018	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
16	7, 13, 15	3eqtr3d 2234	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((𝑁‘𝑋) + 𝑌)) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867  Grpcgrp 13072  inv_gcminusg 13073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076

This theorem is referenced by:  mulgaddcomlem  13215