ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgaddcomlem GIF version

Theorem mulgaddcomlem 13006
Description: Lemma for mulgaddcom 13007. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgaddcom.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgaddcom.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgaddcomlem (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21adantr 276 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3 simp3 999 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
43adantr 276 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
5 znegcl 9284 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6 mulgaddcom.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 mulgaddcom.t . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
86, 7mulgcl 13000 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
95, 8syl3an2 1272 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
109adantr 276 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
11 eqid 2177 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
126, 11grpinvcl 12921 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
13123adant2 1016 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
1413adantr 276 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
15 mulgaddcom.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐บ)
166, 15grpass 12886 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (๐‘‹ + ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹))))
172, 4, 10, 14, 16syl13anc 1240 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (๐‘‹ + ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹))))
186, 7, 11mulgneg 13001 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
1918adantr 276 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
2019oveq1d 5890 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)))
216, 7mulgcl 13000 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2221adantr 276 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
236, 15, 11grpinvadd 12948 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)))
242, 4, 22, 23syl3anc 1238 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)))
2519oveq2d 5891 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
266, 15, 11grpinvadd 12948 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
272, 22, 4, 26syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
28 fveq2 5516 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
2928adantl 277 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
3025, 27, 293eqtr2rd 2217 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
3120, 24, 303eqtr2d 2216 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
3231oveq2d 5891 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ + ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹))) = (๐‘‹ + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
336, 15, 11grpasscan1 12933 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
342, 4, 10, 33syl3anc 1238 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
3517, 32, 343eqtrd 2214 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
3635oveq1d 5890 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) + ๐‘‹) = ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
376, 15grpcl 12885 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
381, 3, 9, 37syl3anc 1238 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
3938adantr 276 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
406, 15, 11grpasscan2 12934 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
412, 39, 4, 40syl3anc 1238 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (((๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
4236, 41eqtr3d 2212 1 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  -cneg 8129  โ„คcz 9253  Basecbs 12462  +gcplusg 12536  Grpcgrp 12877  invgcminusg 12878  .gcmg 12983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-mulg 12984
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13007
  Copyright terms: Public domain W3C validator