Theorem mulgaddcomlem 13883

Description: Lemma for mulgaddcom 13884. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		znegcl 9613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	mulgcl 13877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an2 1308	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	6, 11	grpinvcl 13782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	6, 15	grpass 13743	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
18	6, 7, 11	mulgneg 13878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
20	19	oveq1d 6067	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
21	6, 7	mulgcl 13877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	6, 15, 11	grpinvadd 13812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
25	19	oveq2d 6068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
26	6, 15, 11	grpinvadd 13812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
28		fveq2 5672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2273	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
32	31	oveq2d 6068	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))))
33	6, 15, 11	grpasscan1 13797	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
35	17, 32, 34	3eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (-𝑦 · 𝑋))
36	35	oveq1d 6067	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
37	6, 15	grpcl 13742	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
40	6, 15, 11	grpasscan2 13798	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
42	36, 41	eqtr3d 2269	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  -cneg 8450  ℤcz 9582  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  Grpcgrp 13734  inv_gcminusg 13735  ._gcmg 13857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-mulg 13858

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13884