Theorem mulgaddcomlem 13690

Description: Lemma for mulgaddcom 13691. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp3 1023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		znegcl 9485	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	mulgcl 13684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an2 1305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	6, 11	grpinvcl 13589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant2 1040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	6, 15	grpass 13550	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1273	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
18	6, 7, 11	mulgneg 13685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
20	19	oveq1d 6022	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
21	6, 7	mulgcl 13684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	6, 15, 11	grpinvadd 13619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
25	19	oveq2d 6023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
26	6, 15, 11	grpinvadd 13619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
28		fveq2 5629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2269	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2268	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
32	31	oveq2d 6023	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))))
33	6, 15, 11	grpasscan1 13604	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
35	17, 32, 34	3eqtrd 2266	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (-𝑦 · 𝑋))
36	35	oveq1d 6022	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
37	6, 15	grpcl 13549	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
40	6, 15, 11	grpasscan2 13605	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
42	36, 41	eqtr3d 2264	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  -cneg 8326  ℤcz 9454  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  Grpcgrp 13541  inv_gcminusg 13542  ._gcmg 13664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-seqfrec 10678  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-mulg 13665

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13691