Theorem grpinvcl 13911

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13910	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5846	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  Basecbs 13409  Grpcgrp 13863  inv_gcminusg 13864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-0g 13670  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867

This theorem is used by:  grpinvcld  13912  grprinv  13914  grpinvid1  13915  grpinvid2  13916  grplrinv  13920  grpressid  13924  grplcan  13925  grpasscan1  13926  grpasscan2  13927  grpinvinv  13930  grpinvcnv  13931  grpinvnzcl  13935  grpsubinv  13936  grplmulf1o  13937  grpinvssd  13940  grpinvadd  13941  grpsubf  13942  grpsubrcan  13944  grpinvsub  13945  grpinvval2  13946  grpsubeq0  13949  grpsubadd  13951  grpaddsubass  13953  grpnpcan  13955  dfgrp3m  13962  grplactcnv  13965  grpsubpropd2  13968  imasgrp  13972  ghmgrp  13979  mulgcl  14000  mulgaddcomlem  14006  mulginvcom  14008  mulginvinv  14009  mulgneg2  14017  subginv  14042  subginvcl  14044  issubg4m  14054  grpissubg  14055  subgintm  14059  0subg  14060  isnsg3  14068  nmzsubg  14071  eqger  14085  eqglact  14086  eqgcpbl  14089  qusgrp  14093  qusinv  14097  qussub  14098  ghminv  14111  ghmsub  14112  ghmrn  14118  ghmpreima  14127  ghmeql  14128  conjghm  14137  cntzsubg  14170  ablinvadd  14203  ablsub2inv  14204  ablsub4  14206  ablsubsub4  14212  invghm  14222  eqgabl  14223  pwssub  14322  ringnegl  14462  ringnegr  14463  ringmneg1  14464  ringmneg2  14465  ringm2neg  14466  ringsubdi  14467  ringsubdir  14468  dvdsrneg  14518  unitinvcl  14538  unitnegcl  14545  lmodvnegcl  14773  lmodvneg1  14775  lmodvsneg  14776  lmodsubvs  14788  lmodsubdi  14789  lmodsubdir  14790  lssvsubcl  14811  lssvnegcl  14821  lspsnneg  14865  psrlinv  15203