Theorem grpinvcl 13250

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13249	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5700	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  Basecbs 12703  Grpcgrp 13202  inv_gcminusg 13203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13251  grprinv  13253  grpinvid1  13254  grpinvid2  13255  grplrinv  13259  grpressid  13263  grplcan  13264  grpasscan1  13265  grpasscan2  13266  grpinvinv  13269  grpinvcnv  13270  grpinvnzcl  13274  grpsubinv  13275  grplmulf1o  13276  grpinvssd  13279  grpinvadd  13280  grpsubf  13281  grpsubrcan  13283  grpinvsub  13284  grpinvval2  13285  grpsubeq0  13288  grpsubadd  13290  grpaddsubass  13292  grpnpcan  13294  dfgrp3m  13301  grplactcnv  13304  grpsubpropd2  13307  pwssub  13315  imasgrp  13317  ghmgrp  13324  mulgcl  13345  mulgaddcomlem  13351  mulginvcom  13353  mulginvinv  13354  mulgneg2  13362  subginv  13387  subginvcl  13389  issubg4m  13399  grpissubg  13400  subgintm  13404  0subg  13405  isnsg3  13413  nmzsubg  13416  eqger  13430  eqglact  13431  eqgcpbl  13434  qusgrp  13438  qusinv  13442  qussub  13443  ghminv  13456  ghmsub  13457  ghmrn  13463  ghmpreima  13472  ghmeql  13473  conjghm  13482  ablinvadd  13516  ablsub2inv  13517  ablsub4  13519  ablsubsub4  13525  invghm  13535  eqgabl  13536  ringnegl  13683  ringnegr  13684  ringmneg1  13685  ringmneg2  13686  ringm2neg  13687  ringsubdi  13688  ringsubdir  13689  dvdsrneg  13735  unitinvcl  13755  unitnegcl  13762  lmodvnegcl  13960  lmodvneg1  13962  lmodvsneg  13963  lmodsubvs  13975  lmodsubdi  13976  lmodsubdir  13977  lssvsubcl  13998  lssvnegcl  14008  lspsnneg  14052  psrlinv  14312