Theorem grpinvcl 13912

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13911	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5846	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  Basecbs 13410  Grpcgrp 13864  inv_gcminusg 13865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868

This theorem is used by:  grpinvcld  13913  grprinv  13915  grpinvid1  13916  grpinvid2  13917  grplrinv  13921  grpressid  13925  grplcan  13926  grpasscan1  13927  grpasscan2  13928  grpinvinv  13931  grpinvcnv  13932  grpinvnzcl  13936  grpsubinv  13937  grplmulf1o  13938  grpinvssd  13941  grpinvadd  13942  grpsubf  13943  grpsubrcan  13945  grpinvsub  13946  grpinvval2  13947  grpsubeq0  13950  grpsubadd  13952  grpaddsubass  13954  grpnpcan  13956  dfgrp3m  13963  grplactcnv  13966  grpsubpropd2  13969  imasgrp  13973  ghmgrp  13980  mulgcl  14001  mulgaddcomlem  14007  mulginvcom  14009  mulginvinv  14010  mulgneg2  14018  subginv  14043  subginvcl  14045  issubg4m  14055  grpissubg  14056  subgintm  14060  0subg  14061  isnsg3  14069  nmzsubg  14072  eqger  14086  eqglact  14087  eqgcpbl  14090  qusgrp  14094  qusinv  14098  qussub  14099  ghminv  14112  ghmsub  14113  ghmrn  14119  ghmpreima  14128  ghmeql  14129  conjghm  14138  cntzsubg  14171  ablinvadd  14204  ablsub2inv  14205  ablsub4  14207  ablsubsub4  14213  invghm  14223  eqgabl  14224  pwssub  14323  ringnegl  14463  ringnegr  14464  ringmneg1  14465  ringmneg2  14466  ringm2neg  14467  ringsubdi  14468  ringsubdir  14469  dvdsrneg  14519  unitinvcl  14539  unitnegcl  14546  lmodvnegcl  14774  lmodvneg1  14776  lmodvsneg  14777  lmodsubvs  14789  lmodsubdi  14790  lmodsubdir  14791  lssvsubcl  14812  lssvnegcl  14822  lspsnneg  14866  psrlinv  15194