Theorem grpinvcl 13123

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13122	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5694	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  Basecbs 12621  Grpcgrp 13075  inv_gcminusg 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13124  grprinv  13126  grpinvid1  13127  grpinvid2  13128  grplrinv  13132  grpressid  13136  grplcan  13137  grpasscan1  13138  grpasscan2  13139  grpinvinv  13142  grpinvcnv  13143  grpinvnzcl  13147  grpsubinv  13148  grplmulf1o  13149  grpinvssd  13152  grpinvadd  13153  grpsubf  13154  grpsubrcan  13156  grpinvsub  13157  grpinvval2  13158  grpsubeq0  13161  grpsubadd  13163  grpaddsubass  13165  grpnpcan  13167  dfgrp3m  13174  grplactcnv  13177  grpsubpropd2  13180  imasgrp  13184  ghmgrp  13191  mulgcl  13212  mulgaddcomlem  13218  mulginvcom  13220  mulginvinv  13221  mulgneg2  13229  subginv  13254  subginvcl  13256  issubg4m  13266  grpissubg  13267  subgintm  13271  0subg  13272  isnsg3  13280  nmzsubg  13283  eqger  13297  eqglact  13298  eqgcpbl  13301  qusgrp  13305  qusinv  13309  qussub  13310  ghminv  13323  ghmsub  13324  ghmrn  13330  ghmpreima  13339  ghmeql  13340  conjghm  13349  ablinvadd  13383  ablsub2inv  13384  ablsub4  13386  ablsubsub4  13392  invghm  13402  eqgabl  13403  ringnegl  13550  ringnegr  13551  ringmneg1  13552  ringmneg2  13553  ringm2neg  13554  ringsubdi  13555  ringsubdir  13556  dvdsrneg  13602  unitinvcl  13622  unitnegcl  13629  lmodvnegcl  13827  lmodvneg1  13829  lmodvsneg  13830  lmodsubvs  13842  lmodsubdi  13843  lmodsubdir  13844  lssvsubcl  13865  lssvnegcl  13875  lspsnneg  13919