Theorem grpinvcl 13906

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13905	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5843	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  Basecbs 13404  Grpcgrp 13858  inv_gcminusg 13859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862

This theorem is used by:  grpinvcld  13907  grprinv  13909  grpinvid1  13910  grpinvid2  13911  grplrinv  13915  grpressid  13919  grplcan  13920  grpasscan1  13921  grpasscan2  13922  grpinvinv  13925  grpinvcnv  13926  grpinvnzcl  13930  grpsubinv  13931  grplmulf1o  13932  grpinvssd  13935  grpinvadd  13936  grpsubf  13937  grpsubrcan  13939  grpinvsub  13940  grpinvval2  13941  grpsubeq0  13944  grpsubadd  13946  grpaddsubass  13948  grpnpcan  13950  dfgrp3m  13957  grplactcnv  13960  grpsubpropd2  13963  imasgrp  13967  ghmgrp  13974  mulgcl  13995  mulgaddcomlem  14001  mulginvcom  14003  mulginvinv  14004  mulgneg2  14012  subginv  14037  subginvcl  14039  issubg4m  14049  grpissubg  14050  subgintm  14054  0subg  14055  isnsg3  14063  nmzsubg  14066  eqger  14080  eqglact  14081  eqgcpbl  14084  qusgrp  14088  qusinv  14092  qussub  14093  ghminv  14106  ghmsub  14107  ghmrn  14113  ghmpreima  14122  ghmeql  14123  conjghm  14132  cntzsubg  14165  ablinvadd  14198  ablsub2inv  14199  ablsub4  14201  ablsubsub4  14207  invghm  14217  eqgabl  14218  pwssub  14300  ringnegl  14440  ringnegr  14441  ringmneg1  14442  ringmneg2  14443  ringm2neg  14444  ringsubdi  14445  ringsubdir  14446  dvdsrneg  14494  unitinvcl  14514  unitnegcl  14521  lmodvnegcl  14749  lmodvneg1  14751  lmodvsneg  14752  lmodsubvs  14764  lmodsubdi  14765  lmodsubdir  14766  lssvsubcl  14787  lssvnegcl  14797  lspsnneg  14841  psrlinv  15166