Theorem grpinvcl 13902

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13901	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5843	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  Basecbs 13401  Grpcgrp 13854  inv_gcminusg 13855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-plusg 13493  df-0g 13661  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-grp 13857  df-minusg 13858

This theorem is used by:  grpinvcld  13903  grprinv  13905  grpinvid1  13906  grpinvid2  13907  grplrinv  13911  grpressid  13915  grplcan  13916  grpasscan1  13917  grpasscan2  13918  grpinvinv  13921  grpinvcnv  13922  grpinvnzcl  13926  grpsubinv  13927  grplmulf1o  13928  grpinvssd  13931  grpinvadd  13932  grpsubf  13933  grpsubrcan  13935  grpinvsub  13936  grpinvval2  13937  grpsubeq0  13940  grpsubadd  13942  grpaddsubass  13944  grpnpcan  13946  dfgrp3m  13953  grplactcnv  13956  grpsubpropd2  13959  imasgrp  13963  ghmgrp  13970  mulgcl  13991  mulgaddcomlem  13997  mulginvcom  13999  mulginvinv  14000  mulgneg2  14008  subginv  14033  subginvcl  14035  issubg4m  14045  grpissubg  14046  subgintm  14050  0subg  14051  isnsg3  14059  nmzsubg  14062  eqger  14076  eqglact  14077  eqgcpbl  14080  qusgrp  14084  qusinv  14088  qussub  14089  ghminv  14102  ghmsub  14103  ghmrn  14109  ghmpreima  14118  ghmeql  14119  conjghm  14128  ablinvadd  14163  ablsub2inv  14164  ablsub4  14166  ablsubsub4  14172  invghm  14182  eqgabl  14183  pwssub  14265  ringnegl  14405  ringnegr  14406  ringmneg1  14407  ringmneg2  14408  ringm2neg  14409  ringsubdi  14410  ringsubdir  14411  dvdsrneg  14459  unitinvcl  14479  unitnegcl  14486  lmodvnegcl  14714  lmodvneg1  14716  lmodvsneg  14717  lmodsubvs  14729  lmodsubdi  14730  lmodsubdir  14731  lssvsubcl  14752  lssvnegcl  14762  lspsnneg  14806  psrlinv  15124