Theorem grpinvcl 13630

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13629	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5782	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  Basecbs 13081  Grpcgrp 13582  inv_gcminusg 13583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13631  grprinv  13633  grpinvid1  13634  grpinvid2  13635  grplrinv  13639  grpressid  13643  grplcan  13644  grpasscan1  13645  grpasscan2  13646  grpinvinv  13649  grpinvcnv  13650  grpinvnzcl  13654  grpsubinv  13655  grplmulf1o  13656  grpinvssd  13659  grpinvadd  13660  grpsubf  13661  grpsubrcan  13663  grpinvsub  13664  grpinvval2  13665  grpsubeq0  13668  grpsubadd  13670  grpaddsubass  13672  grpnpcan  13674  dfgrp3m  13681  grplactcnv  13684  grpsubpropd2  13687  pwssub  13695  imasgrp  13697  ghmgrp  13704  mulgcl  13725  mulgaddcomlem  13731  mulginvcom  13733  mulginvinv  13734  mulgneg2  13742  subginv  13767  subginvcl  13769  issubg4m  13779  grpissubg  13780  subgintm  13784  0subg  13785  isnsg3  13793  nmzsubg  13796  eqger  13810  eqglact  13811  eqgcpbl  13814  qusgrp  13818  qusinv  13822  qussub  13823  ghminv  13836  ghmsub  13837  ghmrn  13843  ghmpreima  13852  ghmeql  13853  conjghm  13862  ablinvadd  13896  ablsub2inv  13897  ablsub4  13899  ablsubsub4  13905  invghm  13915  eqgabl  13916  ringnegl  14063  ringnegr  14064  ringmneg1  14065  ringmneg2  14066  ringm2neg  14067  ringsubdi  14068  ringsubdir  14069  dvdsrneg  14116  unitinvcl  14136  unitnegcl  14143  lmodvnegcl  14341  lmodvneg1  14343  lmodvsneg  14344  lmodsubvs  14356  lmodsubdi  14357  lmodsubdir  14358  lssvsubcl  14379  lssvnegcl  14389  lspsnneg  14433  psrlinv  14697