Theorem grpinvcl 12926

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 12925	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5653	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  Basecbs 12464  Grpcgrp 12882  inv_gcminusg 12883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886

This theorem is referenced by:  grprinv  12928  grpinvid1  12929  grpinvid2  12930  grplrinv  12932  grpressid  12936  grplcan  12937  grpasscan1  12938  grpasscan2  12939  grpinvinv  12942  grpinvcnv  12943  grpinvnzcl  12947  grpsubinv  12948  grplmulf1o  12949  grpinvssd  12952  grpinvadd  12953  grpsubf  12954  grpsubrcan  12956  grpinvsub  12957  grpinvval2  12958  grpsubeq0  12961  grpsubadd  12963  grpaddsubass  12965  grpnpcan  12967  dfgrp3m  12974  grplactcnv  12977  grpsubpropd2  12980  ghmgrp  12987  mulgcl  13005  mulgaddcomlem  13011  mulginvcom  13013  mulginvinv  13014  mulgneg2  13022  subginv  13046  subginvcl  13048  issubg4m  13058  grpissubg  13059  subgintm  13063  0subg  13064  isnsg3  13072  nmzsubg  13075  eqger  13088  eqglact  13089  eqgcpbl  13092  ablinvadd  13118  ablsub2inv  13119  ablsub4  13121  ablsubsub4  13127  ringnegl  13233  ringnegr  13234  ringmneg1  13235  ringmneg2  13236  ringm2neg  13237  ringsubdi  13238  ringsubdir  13239  dvdsrneg  13277  unitinvcl  13297  unitnegcl  13304  lmodvnegcl  13423  lmodvneg1  13425  lmodvsneg  13426  lmodsubvs  13438  lmodsubdi  13439  lmodsubdir  13440  lssvsubcl  13457  lssvnegcl  13468