Theorem grpinvcl 13596

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13595	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5772	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  Basecbs 13047  Grpcgrp 13548  inv_gcminusg 13549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13597  grprinv  13599  grpinvid1  13600  grpinvid2  13601  grplrinv  13605  grpressid  13609  grplcan  13610  grpasscan1  13611  grpasscan2  13612  grpinvinv  13615  grpinvcnv  13616  grpinvnzcl  13620  grpsubinv  13621  grplmulf1o  13622  grpinvssd  13625  grpinvadd  13626  grpsubf  13627  grpsubrcan  13629  grpinvsub  13630  grpinvval2  13631  grpsubeq0  13634  grpsubadd  13636  grpaddsubass  13638  grpnpcan  13640  dfgrp3m  13647  grplactcnv  13650  grpsubpropd2  13653  pwssub  13661  imasgrp  13663  ghmgrp  13670  mulgcl  13691  mulgaddcomlem  13697  mulginvcom  13699  mulginvinv  13700  mulgneg2  13708  subginv  13733  subginvcl  13735  issubg4m  13745  grpissubg  13746  subgintm  13750  0subg  13751  isnsg3  13759  nmzsubg  13762  eqger  13776  eqglact  13777  eqgcpbl  13780  qusgrp  13784  qusinv  13788  qussub  13789  ghminv  13802  ghmsub  13803  ghmrn  13809  ghmpreima  13818  ghmeql  13819  conjghm  13828  ablinvadd  13862  ablsub2inv  13863  ablsub4  13865  ablsubsub4  13871  invghm  13881  eqgabl  13882  ringnegl  14029  ringnegr  14030  ringmneg1  14031  ringmneg2  14032  ringm2neg  14033  ringsubdi  14034  ringsubdir  14035  dvdsrneg  14082  unitinvcl  14102  unitnegcl  14109  lmodvnegcl  14307  lmodvneg1  14309  lmodvsneg  14310  lmodsubvs  14322  lmodsubdi  14323  lmodsubdir  14324  lssvsubcl  14345  lssvnegcl  14355  lspsnneg  14399  psrlinv  14663