Theorem grpinvcl 13633

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13632	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5782	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  Basecbs 13084  Grpcgrp 13585  inv_gcminusg 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13634  grprinv  13636  grpinvid1  13637  grpinvid2  13638  grplrinv  13642  grpressid  13646  grplcan  13647  grpasscan1  13648  grpasscan2  13649  grpinvinv  13652  grpinvcnv  13653  grpinvnzcl  13657  grpsubinv  13658  grplmulf1o  13659  grpinvssd  13662  grpinvadd  13663  grpsubf  13664  grpsubrcan  13666  grpinvsub  13667  grpinvval2  13668  grpsubeq0  13671  grpsubadd  13673  grpaddsubass  13675  grpnpcan  13677  dfgrp3m  13684  grplactcnv  13687  grpsubpropd2  13690  pwssub  13698  imasgrp  13700  ghmgrp  13707  mulgcl  13728  mulgaddcomlem  13734  mulginvcom  13736  mulginvinv  13737  mulgneg2  13745  subginv  13770  subginvcl  13772  issubg4m  13782  grpissubg  13783  subgintm  13787  0subg  13788  isnsg3  13796  nmzsubg  13799  eqger  13813  eqglact  13814  eqgcpbl  13817  qusgrp  13821  qusinv  13825  qussub  13826  ghminv  13839  ghmsub  13840  ghmrn  13846  ghmpreima  13855  ghmeql  13856  conjghm  13865  ablinvadd  13899  ablsub2inv  13900  ablsub4  13902  ablsubsub4  13908  invghm  13918  eqgabl  13919  ringnegl  14067  ringnegr  14068  ringmneg1  14069  ringmneg2  14070  ringm2neg  14071  ringsubdi  14072  ringsubdir  14073  dvdsrneg  14120  unitinvcl  14140  unitnegcl  14147  lmodvnegcl  14345  lmodvneg1  14347  lmodvsneg  14348  lmodsubvs  14360  lmodsubdi  14361  lmodsubdir  14362  lssvsubcl  14383  lssvnegcl  14393  lspsnneg  14437  psrlinv  14701