Theorem grpinvcl 13380

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13379	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5715	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  Basecbs 12832  Grpcgrp 13332  inv_gcminusg 13333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13381  grprinv  13383  grpinvid1  13384  grpinvid2  13385  grplrinv  13389  grpressid  13393  grplcan  13394  grpasscan1  13395  grpasscan2  13396  grpinvinv  13399  grpinvcnv  13400  grpinvnzcl  13404  grpsubinv  13405  grplmulf1o  13406  grpinvssd  13409  grpinvadd  13410  grpsubf  13411  grpsubrcan  13413  grpinvsub  13414  grpinvval2  13415  grpsubeq0  13418  grpsubadd  13420  grpaddsubass  13422  grpnpcan  13424  dfgrp3m  13431  grplactcnv  13434  grpsubpropd2  13437  pwssub  13445  imasgrp  13447  ghmgrp  13454  mulgcl  13475  mulgaddcomlem  13481  mulginvcom  13483  mulginvinv  13484  mulgneg2  13492  subginv  13517  subginvcl  13519  issubg4m  13529  grpissubg  13530  subgintm  13534  0subg  13535  isnsg3  13543  nmzsubg  13546  eqger  13560  eqglact  13561  eqgcpbl  13564  qusgrp  13568  qusinv  13572  qussub  13573  ghminv  13586  ghmsub  13587  ghmrn  13593  ghmpreima  13602  ghmeql  13603  conjghm  13612  ablinvadd  13646  ablsub2inv  13647  ablsub4  13649  ablsubsub4  13655  invghm  13665  eqgabl  13666  ringnegl  13813  ringnegr  13814  ringmneg1  13815  ringmneg2  13816  ringm2neg  13817  ringsubdi  13818  ringsubdir  13819  dvdsrneg  13865  unitinvcl  13885  unitnegcl  13892  lmodvnegcl  14090  lmodvneg1  14092  lmodvsneg  14093  lmodsubvs  14105  lmodsubdi  14106  lmodsubdir  14107  lssvsubcl  14128  lssvnegcl  14138  lspsnneg  14182  psrlinv  14446