Theorem grpinvcl 13576

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13575	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5769	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  Basecbs 13027  Grpcgrp 13528  inv_gcminusg 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13577  grprinv  13579  grpinvid1  13580  grpinvid2  13581  grplrinv  13585  grpressid  13589  grplcan  13590  grpasscan1  13591  grpasscan2  13592  grpinvinv  13595  grpinvcnv  13596  grpinvnzcl  13600  grpsubinv  13601  grplmulf1o  13602  grpinvssd  13605  grpinvadd  13606  grpsubf  13607  grpsubrcan  13609  grpinvsub  13610  grpinvval2  13611  grpsubeq0  13614  grpsubadd  13616  grpaddsubass  13618  grpnpcan  13620  dfgrp3m  13627  grplactcnv  13630  grpsubpropd2  13633  pwssub  13641  imasgrp  13643  ghmgrp  13650  mulgcl  13671  mulgaddcomlem  13677  mulginvcom  13679  mulginvinv  13680  mulgneg2  13688  subginv  13713  subginvcl  13715  issubg4m  13725  grpissubg  13726  subgintm  13730  0subg  13731  isnsg3  13739  nmzsubg  13742  eqger  13756  eqglact  13757  eqgcpbl  13760  qusgrp  13764  qusinv  13768  qussub  13769  ghminv  13782  ghmsub  13783  ghmrn  13789  ghmpreima  13798  ghmeql  13799  conjghm  13808  ablinvadd  13842  ablsub2inv  13843  ablsub4  13845  ablsubsub4  13851  invghm  13861  eqgabl  13862  ringnegl  14009  ringnegr  14010  ringmneg1  14011  ringmneg2  14012  ringm2neg  14013  ringsubdi  14014  ringsubdir  14015  dvdsrneg  14061  unitinvcl  14081  unitnegcl  14088  lmodvnegcl  14286  lmodvneg1  14288  lmodvsneg  14289  lmodsubvs  14301  lmodsubdi  14302  lmodsubdir  14303  lssvsubcl  14324  lssvnegcl  14334  lspsnneg  14378  psrlinv  14642