Theorem grpinvcl 13830

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13829	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5834	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  Basecbs 13330  Grpcgrp 13782  inv_gcminusg 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13831  grprinv  13833  grpinvid1  13834  grpinvid2  13835  grplrinv  13839  grpressid  13843  grplcan  13844  grpasscan1  13845  grpasscan2  13846  grpinvinv  13849  grpinvcnv  13850  grpinvnzcl  13854  grpsubinv  13855  grplmulf1o  13856  grpinvssd  13859  grpinvadd  13860  grpsubf  13861  grpsubrcan  13863  grpinvsub  13864  grpinvval2  13865  grpsubeq0  13868  grpsubadd  13870  grpaddsubass  13872  grpnpcan  13874  dfgrp3m  13881  grplactcnv  13884  grpsubpropd2  13887  imasgrp  13891  ghmgrp  13898  mulgcl  13919  mulgaddcomlem  13925  mulginvcom  13927  mulginvinv  13928  mulgneg2  13936  subginv  13961  subginvcl  13963  issubg4m  13973  grpissubg  13974  subgintm  13978  0subg  13979  isnsg3  13987  nmzsubg  13990  eqger  14004  eqglact  14005  eqgcpbl  14008  qusgrp  14012  qusinv  14016  qussub  14017  ghminv  14030  ghmsub  14031  ghmrn  14037  ghmpreima  14046  ghmeql  14047  conjghm  14056  ablinvadd  14091  ablsub2inv  14092  ablsub4  14094  ablsubsub4  14100  invghm  14110  eqgabl  14111  pwssub  14193  ringnegl  14329  ringnegr  14330  ringmneg1  14331  ringmneg2  14332  ringm2neg  14333  ringsubdi  14334  ringsubdir  14335  dvdsrneg  14383  unitinvcl  14403  unitnegcl  14410  lmodvnegcl  14637  lmodvneg1  14639  lmodvsneg  14640  lmodsubvs  14652  lmodsubdi  14653  lmodsubdir  14654  lssvsubcl  14675  lssvnegcl  14685  lspsnneg  14729  psrlinv  14998