Theorem grpinvcl 13621

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13620	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5778	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  Basecbs 13072  Grpcgrp 13573  inv_gcminusg 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13622  grprinv  13624  grpinvid1  13625  grpinvid2  13626  grplrinv  13630  grpressid  13634  grplcan  13635  grpasscan1  13636  grpasscan2  13637  grpinvinv  13640  grpinvcnv  13641  grpinvnzcl  13645  grpsubinv  13646  grplmulf1o  13647  grpinvssd  13650  grpinvadd  13651  grpsubf  13652  grpsubrcan  13654  grpinvsub  13655  grpinvval2  13656  grpsubeq0  13659  grpsubadd  13661  grpaddsubass  13663  grpnpcan  13665  dfgrp3m  13672  grplactcnv  13675  grpsubpropd2  13678  pwssub  13686  imasgrp  13688  ghmgrp  13695  mulgcl  13716  mulgaddcomlem  13722  mulginvcom  13724  mulginvinv  13725  mulgneg2  13733  subginv  13758  subginvcl  13760  issubg4m  13770  grpissubg  13771  subgintm  13775  0subg  13776  isnsg3  13784  nmzsubg  13787  eqger  13801  eqglact  13802  eqgcpbl  13805  qusgrp  13809  qusinv  13813  qussub  13814  ghminv  13827  ghmsub  13828  ghmrn  13834  ghmpreima  13843  ghmeql  13844  conjghm  13853  ablinvadd  13887  ablsub2inv  13888  ablsub4  13890  ablsubsub4  13896  invghm  13906  eqgabl  13907  ringnegl  14054  ringnegr  14055  ringmneg1  14056  ringmneg2  14057  ringm2neg  14058  ringsubdi  14059  ringsubdir  14060  dvdsrneg  14107  unitinvcl  14127  unitnegcl  14134  lmodvnegcl  14332  lmodvneg1  14334  lmodvsneg  14335  lmodsubvs  14347  lmodsubdi  14348  lmodsubdir  14349  lssvsubcl  14370  lssvnegcl  14380  lspsnneg  14424  psrlinv  14688