Theorem grpinvcl 13694

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13693	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5790	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  Basecbs 13145  Grpcgrp 13646  inv_gcminusg 13647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13695  grprinv  13697  grpinvid1  13698  grpinvid2  13699  grplrinv  13703  grpressid  13707  grplcan  13708  grpasscan1  13709  grpasscan2  13710  grpinvinv  13713  grpinvcnv  13714  grpinvnzcl  13718  grpsubinv  13719  grplmulf1o  13720  grpinvssd  13723  grpinvadd  13724  grpsubf  13725  grpsubrcan  13727  grpinvsub  13728  grpinvval2  13729  grpsubeq0  13732  grpsubadd  13734  grpaddsubass  13736  grpnpcan  13738  dfgrp3m  13745  grplactcnv  13748  grpsubpropd2  13751  pwssub  13759  imasgrp  13761  ghmgrp  13768  mulgcl  13789  mulgaddcomlem  13795  mulginvcom  13797  mulginvinv  13798  mulgneg2  13806  subginv  13831  subginvcl  13833  issubg4m  13843  grpissubg  13844  subgintm  13848  0subg  13849  isnsg3  13857  nmzsubg  13860  eqger  13874  eqglact  13875  eqgcpbl  13878  qusgrp  13882  qusinv  13886  qussub  13887  ghminv  13900  ghmsub  13901  ghmrn  13907  ghmpreima  13916  ghmeql  13917  conjghm  13926  ablinvadd  13960  ablsub2inv  13961  ablsub4  13963  ablsubsub4  13969  invghm  13979  eqgabl  13980  ringnegl  14128  ringnegr  14129  ringmneg1  14130  ringmneg2  14131  ringm2neg  14132  ringsubdi  14133  ringsubdir  14134  dvdsrneg  14181  unitinvcl  14201  unitnegcl  14208  lmodvnegcl  14407  lmodvneg1  14409  lmodvsneg  14410  lmodsubvs  14422  lmodsubdi  14423  lmodsubdir  14424  lssvsubcl  14445  lssvnegcl  14455  lspsnneg  14499  psrlinv  14768