Theorem grpinvcl 13465

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13464	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5733	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5285  Basecbs 12917  Grpcgrp 13417  inv_gcminusg 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-inn 9067  df-2 9125  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13466  grprinv  13468  grpinvid1  13469  grpinvid2  13470  grplrinv  13474  grpressid  13478  grplcan  13479  grpasscan1  13480  grpasscan2  13481  grpinvinv  13484  grpinvcnv  13485  grpinvnzcl  13489  grpsubinv  13490  grplmulf1o  13491  grpinvssd  13494  grpinvadd  13495  grpsubf  13496  grpsubrcan  13498  grpinvsub  13499  grpinvval2  13500  grpsubeq0  13503  grpsubadd  13505  grpaddsubass  13507  grpnpcan  13509  dfgrp3m  13516  grplactcnv  13519  grpsubpropd2  13522  pwssub  13530  imasgrp  13532  ghmgrp  13539  mulgcl  13560  mulgaddcomlem  13566  mulginvcom  13568  mulginvinv  13569  mulgneg2  13577  subginv  13602  subginvcl  13604  issubg4m  13614  grpissubg  13615  subgintm  13619  0subg  13620  isnsg3  13628  nmzsubg  13631  eqger  13645  eqglact  13646  eqgcpbl  13649  qusgrp  13653  qusinv  13657  qussub  13658  ghminv  13671  ghmsub  13672  ghmrn  13678  ghmpreima  13687  ghmeql  13688  conjghm  13697  ablinvadd  13731  ablsub2inv  13732  ablsub4  13734  ablsubsub4  13740  invghm  13750  eqgabl  13751  ringnegl  13898  ringnegr  13899  ringmneg1  13900  ringmneg2  13901  ringm2neg  13902  ringsubdi  13903  ringsubdir  13904  dvdsrneg  13950  unitinvcl  13970  unitnegcl  13977  lmodvnegcl  14175  lmodvneg1  14177  lmodvsneg  14178  lmodsubvs  14190  lmodsubdi  14191  lmodsubdir  14192  lssvsubcl  14213  lssvnegcl  14223  lspsnneg  14267  psrlinv  14531