Theorem grpinvcl 13649

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13648	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5782	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  Basecbs 13100  Grpcgrp 13601  inv_gcminusg 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13650  grprinv  13652  grpinvid1  13653  grpinvid2  13654  grplrinv  13658  grpressid  13662  grplcan  13663  grpasscan1  13664  grpasscan2  13665  grpinvinv  13668  grpinvcnv  13669  grpinvnzcl  13673  grpsubinv  13674  grplmulf1o  13675  grpinvssd  13678  grpinvadd  13679  grpsubf  13680  grpsubrcan  13682  grpinvsub  13683  grpinvval2  13684  grpsubeq0  13687  grpsubadd  13689  grpaddsubass  13691  grpnpcan  13693  dfgrp3m  13700  grplactcnv  13703  grpsubpropd2  13706  pwssub  13714  imasgrp  13716  ghmgrp  13723  mulgcl  13744  mulgaddcomlem  13750  mulginvcom  13752  mulginvinv  13753  mulgneg2  13761  subginv  13786  subginvcl  13788  issubg4m  13798  grpissubg  13799  subgintm  13803  0subg  13804  isnsg3  13812  nmzsubg  13815  eqger  13829  eqglact  13830  eqgcpbl  13833  qusgrp  13837  qusinv  13841  qussub  13842  ghminv  13855  ghmsub  13856  ghmrn  13862  ghmpreima  13871  ghmeql  13872  conjghm  13881  ablinvadd  13915  ablsub2inv  13916  ablsub4  13918  ablsubsub4  13924  invghm  13934  eqgabl  13935  ringnegl  14083  ringnegr  14084  ringmneg1  14085  ringmneg2  14086  ringm2neg  14087  ringsubdi  14088  ringsubdir  14089  dvdsrneg  14136  unitinvcl  14156  unitnegcl  14163  lmodvnegcl  14361  lmodvneg1  14363  lmodvsneg  14364  lmodsubvs  14376  lmodsubdi  14377  lmodsubdir  14378  lssvsubcl  14399  lssvnegcl  14409  lspsnneg  14453  psrlinv  14717