Theorem grpinvcl 13761

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13760	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5812	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  Basecbs 13212  Grpcgrp 13713  inv_gcminusg 13714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13762  grprinv  13764  grpinvid1  13765  grpinvid2  13766  grplrinv  13770  grpressid  13774  grplcan  13775  grpasscan1  13776  grpasscan2  13777  grpinvinv  13780  grpinvcnv  13781  grpinvnzcl  13785  grpsubinv  13786  grplmulf1o  13787  grpinvssd  13790  grpinvadd  13791  grpsubf  13792  grpsubrcan  13794  grpinvsub  13795  grpinvval2  13796  grpsubeq0  13799  grpsubadd  13801  grpaddsubass  13803  grpnpcan  13805  dfgrp3m  13812  grplactcnv  13815  grpsubpropd2  13818  pwssub  13826  imasgrp  13828  ghmgrp  13835  mulgcl  13856  mulgaddcomlem  13862  mulginvcom  13864  mulginvinv  13865  mulgneg2  13873  subginv  13898  subginvcl  13900  issubg4m  13910  grpissubg  13911  subgintm  13915  0subg  13916  isnsg3  13924  nmzsubg  13927  eqger  13941  eqglact  13942  eqgcpbl  13945  qusgrp  13949  qusinv  13953  qussub  13954  ghminv  13967  ghmsub  13968  ghmrn  13974  ghmpreima  13983  ghmeql  13984  conjghm  13993  ablinvadd  14027  ablsub2inv  14028  ablsub4  14030  ablsubsub4  14036  invghm  14046  eqgabl  14047  ringnegl  14195  ringnegr  14196  ringmneg1  14197  ringmneg2  14198  ringm2neg  14199  ringsubdi  14200  ringsubdir  14201  dvdsrneg  14248  unitinvcl  14268  unitnegcl  14275  lmodvnegcl  14476  lmodvneg1  14478  lmodvsneg  14479  lmodsubvs  14491  lmodsubdi  14492  lmodsubdir  14493  lssvsubcl  14514  lssvnegcl  14524  lspsnneg  14568  psrlinv  14839