Theorem grpinvcl 13803

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13802	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5817	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  Basecbs 13296  Grpcgrp 13755  inv_gcminusg 13756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13804  grprinv  13806  grpinvid1  13807  grpinvid2  13808  grplrinv  13812  grpressid  13816  grplcan  13817  grpasscan1  13818  grpasscan2  13819  grpinvinv  13822  grpinvcnv  13823  grpinvnzcl  13827  grpsubinv  13828  grplmulf1o  13829  grpinvssd  13832  grpinvadd  13833  grpsubf  13834  grpsubrcan  13836  grpinvsub  13837  grpinvval2  13838  grpsubeq0  13841  grpsubadd  13843  grpaddsubass  13845  grpnpcan  13847  dfgrp3m  13854  grplactcnv  13857  grpsubpropd2  13860  imasgrp  13864  ghmgrp  13871  mulgcl  13892  mulgaddcomlem  13898  mulginvcom  13900  mulginvinv  13901  mulgneg2  13909  subginv  13934  subginvcl  13936  issubg4m  13946  grpissubg  13947  subgintm  13951  0subg  13952  isnsg3  13960  nmzsubg  13963  eqger  13977  eqglact  13978  eqgcpbl  13981  qusgrp  13985  qusinv  13989  qussub  13990  ghminv  14003  ghmsub  14004  ghmrn  14010  ghmpreima  14019  ghmeql  14020  conjghm  14029  ablinvadd  14063  ablsub2inv  14064  ablsub4  14066  ablsubsub4  14072  invghm  14082  eqgabl  14083  pwssub  14158  ringnegl  14294  ringnegr  14295  ringmneg1  14296  ringmneg2  14297  ringm2neg  14298  ringsubdi  14299  ringsubdir  14300  dvdsrneg  14348  unitinvcl  14368  unitnegcl  14375  lmodvnegcl  14602  lmodvneg1  14604  lmodvsneg  14605  lmodsubvs  14617  lmodsubdi  14618  lmodsubdir  14619  lssvsubcl  14640  lssvnegcl  14650  lspsnneg  14694  psrlinv  14965