Theorem grpinvcl 13252

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 13251	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5700	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  Basecbs 12705  Grpcgrp 13204  inv_gcminusg 13205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-minusg 13208

This theorem is referenced by:  grpinvcld  13253  grprinv  13255  grpinvid1  13256  grpinvid2  13257  grplrinv  13261  grpressid  13265  grplcan  13266  grpasscan1  13267  grpasscan2  13268  grpinvinv  13271  grpinvcnv  13272  grpinvnzcl  13276  grpsubinv  13277  grplmulf1o  13278  grpinvssd  13281  grpinvadd  13282  grpsubf  13283  grpsubrcan  13285  grpinvsub  13286  grpinvval2  13287  grpsubeq0  13290  grpsubadd  13292  grpaddsubass  13294  grpnpcan  13296  dfgrp3m  13303  grplactcnv  13306  grpsubpropd2  13309  pwssub  13317  imasgrp  13319  ghmgrp  13326  mulgcl  13347  mulgaddcomlem  13353  mulginvcom  13355  mulginvinv  13356  mulgneg2  13364  subginv  13389  subginvcl  13391  issubg4m  13401  grpissubg  13402  subgintm  13406  0subg  13407  isnsg3  13415  nmzsubg  13418  eqger  13432  eqglact  13433  eqgcpbl  13436  qusgrp  13440  qusinv  13444  qussub  13445  ghminv  13458  ghmsub  13459  ghmrn  13465  ghmpreima  13474  ghmeql  13475  conjghm  13484  ablinvadd  13518  ablsub2inv  13519  ablsub4  13521  ablsubsub4  13527  invghm  13537  eqgabl  13538  ringnegl  13685  ringnegr  13686  ringmneg1  13687  ringmneg2  13688  ringm2neg  13689  ringsubdi  13690  ringsubdir  13691  dvdsrneg  13737  unitinvcl  13757  unitnegcl  13764  lmodvnegcl  13962  lmodvneg1  13964  lmodvsneg  13965  lmodsubvs  13977  lmodsubdi  13978  lmodsubdir  13979  lssvsubcl  14000  lssvnegcl  14010  lspsnneg  14054  psrlinv  14314