Theorem grpinvcl 12875

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 12874	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 5651	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  Basecbs 12456  Grpcgrp 12831  inv_gcminusg 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835

This theorem is referenced by:  grprinv  12877  grpinvid1  12878  grpinvid2  12879  grplrinv  12881  grpressid  12885  grplcan  12886  grpasscan1  12887  grpasscan2  12888  grpinvinv  12891  grpinvcnv  12892  grpinvnzcl  12896  grpsubinv  12897  grplmulf1o  12898  grpinvssd  12901  grpinvadd  12902  grpsubf  12903  grpsubrcan  12905  grpinvsub  12906  grpinvval2  12907  grpsubeq0  12910  grpsubadd  12912  grpaddsubass  12914  grpnpcan  12916  dfgrp3m  12923  grplactcnv  12926  grpsubpropd2  12929  ghmgrp  12936  mulgcl  12954  mulgaddcomlem  12959  mulginvcom  12961  mulginvinv  12962  mulgneg2  12970  subginv  12994  subginvcl  12996  issubg4m  13006  grpissubg  13007  subgintm  13011  0subg  13012  isnsg3  13020  nmzsubg  13023  eqger  13036  eqglact  13037  eqgcpbl  13040  ablinvadd  13066  ablsub2inv  13067  ablsub4  13069  ablsubsub4  13075  ringnegl  13181  rngnegr  13182  ringmneg1  13183  ringmneg2  13184  ringm2neg  13185  ringsubdi  13186  rngsubdir  13187  dvdsrneg  13225  unitinvcl  13245  unitnegcl  13252