ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpinvnz GIF version

Theorem grpinvnz 12895
Description: The inverse of a nonzero group element is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvnzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z 0 = (0g𝐺)
grpinvnzcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvnz ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )

Proof of Theorem grpinvnz
StepHypRef Expression
1 fveq2 5515 . . . . . 6 ((𝑁𝑋) = 0 → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁0 ))
21adantl 277 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁𝑋) = 0 ) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁0 ))
3 grpinvnzcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 grpinvnzcl.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝐺)
53, 4grpinvinv 12891 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
65adantr 276 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁𝑋) = 0 ) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
7 grpinvnzcl.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
87, 4grpinvid 12884 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )
98ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁𝑋) = 0 ) → (𝑁0 ) = 0 )
102, 6, 93eqtr3d 2218 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁𝑋) = 0 ) → 𝑋 = 0 )
1110ex 115 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) = 0𝑋 = 0 ))
1211necon3d 2391 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋0 → (𝑁𝑋) ≠ 0 ))
13123impia 1200 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  cfv 5216  Basecbs 12456  0gc0g 12695  Grpcgrp 12831  invgcminusg 12832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835
This theorem is referenced by:  grpinvnzcl  12896
  Copyright terms: Public domain W3C validator