Theorem fvco3 5629

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5404	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5627	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∘ ccom 4664   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  fvco4  5630  foco2  5797  f1ocnvfv1  5821  f1ocnvfv2  5822  fcof1  5827  fcofo  5828  cocan1  5831  cocan2  5832  isotr  5860  algrflem  6284  algrflemg  6285  difinfsn  7161  ctssdccl  7172  cc3  7330  0tonninf  10514  1tonninf  10515  seqf1oglem2  10594  seqf1og  10595  summodclem3  11526  fsumf1o  11536  fsumcl2lem  11544  fsumadd  11552  fsummulc2  11594  prodmodclem3  11721  fprodf1o  11734  fprodmul  11737  algcvg  12189  eulerthlemth  12373  ennnfonelemnn0  12582  ctinfomlemom  12587  mhmco  13065  gsumfzreidx  13410  gsumfzmhm  13416  cnptopco  14401  lmtopcnp  14429  upxp  14451  uptx  14453  cnmpt11  14462  cnmpt21  14470  comet  14678  cnmetdval  14708  climcncf  14763  cncfco  14770  limccnpcntop  14854  dvcoapbr  14886  dvcjbr  14887  dvfre  14889  plycjlemc  14938  plycj  14939  isomninnlem  15590  iswomninnlem  15609  ismkvnnlem  15612