Theorem fvco3 5713

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5479	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5711	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∘ ccom 4727   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  fvco4  5714  foco2  5889  f1ocnvfv1  5913  f1ocnvfv2  5914  fcof1  5919  fcofo  5920  cocan1  5923  cocan2  5924  isotr  5952  algrflem  6389  algrflemg  6390  difinfsn  7290  ctssdccl  7301  cc3  7477  0tonninf  10692  1tonninf  10693  seqf1oglem2  10772  seqf1og  10773  summodclem3  11931  fsumf1o  11941  fsumcl2lem  11949  fsumadd  11957  fsummulc2  11999  prodmodclem3  12126  fprodf1o  12139  fprodmul  12142  algcvg  12610  eulerthlemth  12794  ennnfonelemnn0  13033  ctinfomlemom  13038  mhmco  13563  gsumfzreidx  13914  gsumfzmhm  13920  mplsubgfileminv  14704  cnptopco  14936  lmtopcnp  14964  upxp  14986  uptx  14988  cnmpt11  14997  cnmpt21  15005  comet  15213  cnmetdval  15243  climcncf  15298  cncfco  15305  limccnpcntop  15389  dvcoapbr  15421  dvcjbr  15422  dvfre  15424  plycjlemc  15474  plycj  15475  isomninnlem  16570  iswomninnlem  16589  ismkvnnlem  16592