Theorem fvco3 5539

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5319	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5537	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 281	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ∘ ccom 4590   Fn wfn 5165  ⟶wf 5166  ‘cfv 5170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178

This theorem is referenced by:  fvco4  5540  foco2  5704  f1ocnvfv1  5727  f1ocnvfv2  5728  fcof1  5733  fcofo  5734  cocan1  5737  cocan2  5738  isotr  5766  algrflem  6176  algrflemg  6177  difinfsn  7044  ctssdccl  7055  cc3  7188  0tonninf  10338  1tonninf  10339  summodclem3  11277  fsumf1o  11287  fsumcl2lem  11295  fsumadd  11303  fsummulc2  11345  prodmodclem3  11472  fprodf1o  11485  fprodmul  11488  algcvg  11925  eulerthlemth  12107  ennnfonelemnn0  12162  ctinfomlemom  12167  cnptopco  12633  lmtopcnp  12661  upxp  12683  uptx  12685  cnmpt11  12694  cnmpt21  12702  comet  12910  cnmetdval  12940  climcncf  12982  cncfco  12989  limccnpcntop  13055  dvcoapbr  13082  dvcjbr  13083  dvfre  13085  isomninnlem  13612  iswomninnlem  13631  ismkvnnlem  13634