Theorem fvco3 5707

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5473	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5705	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∘ ccom 4723   Fn wfn 5313  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvco4  5708  foco2  5883  f1ocnvfv1  5907  f1ocnvfv2  5908  fcof1  5913  fcofo  5914  cocan1  5917  cocan2  5918  isotr  5946  algrflem  6381  algrflemg  6382  difinfsn  7278  ctssdccl  7289  cc3  7465  0tonninf  10674  1tonninf  10675  seqf1oglem2  10754  seqf1og  10755  summodclem3  11906  fsumf1o  11916  fsumcl2lem  11924  fsumadd  11932  fsummulc2  11974  prodmodclem3  12101  fprodf1o  12114  fprodmul  12117  algcvg  12585  eulerthlemth  12769  ennnfonelemnn0  13008  ctinfomlemom  13013  mhmco  13538  gsumfzreidx  13889  gsumfzmhm  13895  mplsubgfileminv  14679  cnptopco  14911  lmtopcnp  14939  upxp  14961  uptx  14963  cnmpt11  14972  cnmpt21  14980  comet  15188  cnmetdval  15218  climcncf  15273  cncfco  15280  limccnpcntop  15364  dvcoapbr  15396  dvcjbr  15397  dvfre  15399  plycjlemc  15449  plycj  15450  isomninnlem  16458  iswomninnlem  16477  ismkvnnlem  16480