Theorem fvco3 5588

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5366	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5586	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∘ ccom 4631   Fn wfn 5212  ⟶wf 5213  ‘cfv 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225

This theorem is referenced by:  fvco4  5589  foco2  5755  f1ocnvfv1  5778  f1ocnvfv2  5779  fcof1  5784  fcofo  5785  cocan1  5788  cocan2  5789  isotr  5817  algrflem  6230  algrflemg  6231  difinfsn  7099  ctssdccl  7110  cc3  7267  0tonninf  10439  1tonninf  10440  summodclem3  11388  fsumf1o  11398  fsumcl2lem  11406  fsumadd  11414  fsummulc2  11456  prodmodclem3  11583  fprodf1o  11596  fprodmul  11599  algcvg  12048  eulerthlemth  12232  ennnfonelemnn0  12423  ctinfomlemom  12428  mhmco  12874  cnptopco  13725  lmtopcnp  13753  upxp  13775  uptx  13777  cnmpt11  13786  cnmpt21  13794  comet  14002  cnmetdval  14032  climcncf  14074  cncfco  14081  limccnpcntop  14147  dvcoapbr  14174  dvcjbr  14175  dvfre  14177  isomninnlem  14781  iswomninnlem  14800  ismkvnnlem  14803