Theorem fvco3 5717

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5482	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5715	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∘ ccom 4729   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fvco4  5718  foco2  5894  f1ocnvfv1  5918  f1ocnvfv2  5919  fcof1  5924  fcofo  5925  cocan1  5928  cocan2  5929  isotr  5957  algrflem  6394  algrflemg  6395  difinfsn  7299  ctssdccl  7310  cc3  7487  0tonninf  10703  1tonninf  10704  seqf1oglem2  10783  seqf1og  10784  summodclem3  11959  fsumf1o  11969  fsumcl2lem  11977  fsumadd  11985  fsummulc2  12027  prodmodclem3  12154  fprodf1o  12167  fprodmul  12170  algcvg  12638  eulerthlemth  12822  ennnfonelemnn0  13061  ctinfomlemom  13066  mhmco  13591  gsumfzreidx  13942  gsumfzmhm  13948  mplsubgfileminv  14733  cnptopco  14965  lmtopcnp  14993  upxp  15015  uptx  15017  cnmpt11  15026  cnmpt21  15034  comet  15242  cnmetdval  15272  climcncf  15327  cncfco  15334  limccnpcntop  15418  dvcoapbr  15450  dvcjbr  15451  dvfre  15453  plycjlemc  15503  plycj  15504  isomninnlem  16685  iswomninnlem  16705  ismkvnnlem  16708  gfsumval  16732  gsumgfsumlem  16735  gfsump1  16738