Theorem fvco3 5668

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5440	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5666	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∘ ccom 4692   Fn wfn 5280  ⟶wf 5281  ‘cfv 5285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293

This theorem is referenced by:  fvco4  5669  foco2  5840  f1ocnvfv1  5864  f1ocnvfv2  5865  fcof1  5870  fcofo  5871  cocan1  5874  cocan2  5875  isotr  5903  algrflem  6333  algrflemg  6334  difinfsn  7223  ctssdccl  7234  cc3  7410  0tonninf  10617  1tonninf  10618  seqf1oglem2  10697  seqf1og  10698  summodclem3  11776  fsumf1o  11786  fsumcl2lem  11794  fsumadd  11802  fsummulc2  11844  prodmodclem3  11971  fprodf1o  11984  fprodmul  11987  algcvg  12455  eulerthlemth  12639  ennnfonelemnn0  12878  ctinfomlemom  12883  mhmco  13407  gsumfzreidx  13758  gsumfzmhm  13764  mplsubgfileminv  14547  cnptopco  14779  lmtopcnp  14807  upxp  14829  uptx  14831  cnmpt11  14840  cnmpt21  14848  comet  15056  cnmetdval  15086  climcncf  15141  cncfco  15148  limccnpcntop  15232  dvcoapbr  15264  dvcjbr  15265  dvfre  15267  plycjlemc  15317  plycj  15318  isomninnlem  16141  iswomninnlem  16160  ismkvnnlem  16163