Theorem fvco3 5704

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5472	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5702	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∘ ccom 4722   Fn wfn 5312  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325

This theorem is referenced by:  fvco4  5705  foco2  5876  f1ocnvfv1  5900  f1ocnvfv2  5901  fcof1  5906  fcofo  5907  cocan1  5910  cocan2  5911  isotr  5939  algrflem  6373  algrflemg  6374  difinfsn  7263  ctssdccl  7274  cc3  7450  0tonninf  10657  1tonninf  10658  seqf1oglem2  10737  seqf1og  10738  summodclem3  11886  fsumf1o  11896  fsumcl2lem  11904  fsumadd  11912  fsummulc2  11954  prodmodclem3  12081  fprodf1o  12094  fprodmul  12097  algcvg  12565  eulerthlemth  12749  ennnfonelemnn0  12988  ctinfomlemom  12993  mhmco  13518  gsumfzreidx  13869  gsumfzmhm  13875  mplsubgfileminv  14658  cnptopco  14890  lmtopcnp  14918  upxp  14940  uptx  14942  cnmpt11  14951  cnmpt21  14959  comet  15167  cnmetdval  15197  climcncf  15252  cncfco  15259  limccnpcntop  15343  dvcoapbr  15375  dvcjbr  15376  dvfre  15378  plycjlemc  15428  plycj  15429  isomninnlem  16357  iswomninnlem  16376  ismkvnnlem  16379