Theorem fvco3 5632

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5407	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5630	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∘ ccom 4667   Fn wfn 5253  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  fvco4  5633  foco2  5800  f1ocnvfv1  5824  f1ocnvfv2  5825  fcof1  5830  fcofo  5831  cocan1  5834  cocan2  5835  isotr  5863  algrflem  6287  algrflemg  6288  difinfsn  7166  ctssdccl  7177  cc3  7335  0tonninf  10532  1tonninf  10533  seqf1oglem2  10612  seqf1og  10613  summodclem3  11545  fsumf1o  11555  fsumcl2lem  11563  fsumadd  11571  fsummulc2  11613  prodmodclem3  11740  fprodf1o  11753  fprodmul  11756  algcvg  12216  eulerthlemth  12400  ennnfonelemnn0  12639  ctinfomlemom  12644  mhmco  13122  gsumfzreidx  13467  gsumfzmhm  13473  cnptopco  14458  lmtopcnp  14486  upxp  14508  uptx  14510  cnmpt11  14519  cnmpt21  14527  comet  14735  cnmetdval  14765  climcncf  14820  cncfco  14827  limccnpcntop  14911  dvcoapbr  14943  dvcjbr  14944  dvfre  14946  plycjlemc  14996  plycj  14997  isomninnlem  15674  iswomninnlem  15693  ismkvnnlem  15696