Theorem fvco3 5650

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5425	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5648	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ∘ ccom 4679   Fn wfn 5266  ⟶wf 5267  ‘cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  fvco4  5651  foco2  5822  f1ocnvfv1  5846  f1ocnvfv2  5847  fcof1  5852  fcofo  5853  cocan1  5856  cocan2  5857  isotr  5885  algrflem  6315  algrflemg  6316  difinfsn  7202  ctssdccl  7213  cc3  7380  0tonninf  10585  1tonninf  10586  seqf1oglem2  10665  seqf1og  10666  summodclem3  11691  fsumf1o  11701  fsumcl2lem  11709  fsumadd  11717  fsummulc2  11759  prodmodclem3  11886  fprodf1o  11899  fprodmul  11902  algcvg  12370  eulerthlemth  12554  ennnfonelemnn0  12793  ctinfomlemom  12798  mhmco  13322  gsumfzreidx  13673  gsumfzmhm  13679  mplsubgfileminv  14462  cnptopco  14694  lmtopcnp  14722  upxp  14744  uptx  14746  cnmpt11  14755  cnmpt21  14763  comet  14971  cnmetdval  15001  climcncf  15056  cncfco  15063  limccnpcntop  15147  dvcoapbr  15179  dvcjbr  15180  dvfre  15182  plycjlemc  15232  plycj  15233  isomninnlem  15969  iswomninnlem  15988  ismkvnnlem  15991