Theorem fvco3 5635

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5410	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5633	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∘ ccom 4668   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fvco4  5636  foco2  5803  f1ocnvfv1  5827  f1ocnvfv2  5828  fcof1  5833  fcofo  5834  cocan1  5837  cocan2  5838  isotr  5866  algrflem  6296  algrflemg  6297  difinfsn  7175  ctssdccl  7186  cc3  7351  0tonninf  10549  1tonninf  10550  seqf1oglem2  10629  seqf1og  10630  summodclem3  11562  fsumf1o  11572  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  fsummulc2  11630  prodmodclem3  11757  fprodf1o  11770  fprodmul  11773  algcvg  12241  eulerthlemth  12425  ennnfonelemnn0  12664  ctinfomlemom  12669  mhmco  13192  gsumfzreidx  13543  gsumfzmhm  13549  cnptopco  14542  lmtopcnp  14570  upxp  14592  uptx  14594  cnmpt11  14603  cnmpt21  14611  comet  14819  cnmetdval  14849  climcncf  14904  cncfco  14911  limccnpcntop  14995  dvcoapbr  15027  dvcjbr  15028  dvfre  15030  plycjlemc  15080  plycj  15081  isomninnlem  15761  iswomninnlem  15780  ismkvnnlem  15783