Theorem fvco3 5748

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5508	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5746	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∘ ccom 4753   Fn wfn 5347  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fvco4  5749  foco2  5926  f1ocnvfv1  5950  f1ocnvfv2  5951  fcof1  5956  fcofo  5957  cocan1  5960  cocan2  5961  isotr  5989  algrflem  6425  algrflemg  6426  difinfsn  7391  ctssdccl  7402  cc3  7582  0tonninf  10802  1tonninf  10803  seqf1oglem2  10882  seqf1og  10883  summodclem3  12066  fsumf1o  12076  fsumcl2lem  12084  fsumadd  12092  fsummulc2  12134  prodmodclem3  12261  fprodf1o  12274  fprodmul  12277  algcvg  12745  eulerthlemth  12929  ennnfonelemnn0  13173  ctinfomlemom  13178  mhmco  13703  gsumfzreidx  14054  gsumfzmhm  14060  mplsubgfileminv  14855  cnptopco  15087  lmtopcnp  15115  upxp  15137  uptx  15139  cnmpt11  15148  cnmpt21  15156  comet  15364  cnmetdval  15394  climcncf  15449  cncfco  15456  limccnpcntop  15540  dvcoapbr  15572  dvcjbr  15573  dvfre  15575  plycjlemc  15625  plycj  15626  isomninnlem  16814  iswomninnlem  16834  ismkvnnlem  16837  gfsumval  16862  gsumgfsumlem  16865  gfsump1  16868