Theorem fvco3 5776

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5533	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5774	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∘ ccom 4778   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvco4  5777  foco2  5959  f1ocnvfv1  5983  f1ocnvfv2  5984  fcof1  5989  fcofo  5990  cocan1  5993  cocan2  5994  isotr  6022  algrflem  6465  algrflemg  6466  difinfsn  7440  ctssdccl  7451  cc3  7634  0tonninf  10890  1tonninf  10891  seqf1oglem2  10970  seqf1og  10971  summodclem3  12163  fsumf1o  12173  fsumcl2lem  12181  fsumadd  12189  fsummulc2  12231  prodmodclem3  12358  fprodf1o  12371  fprodmul  12374  algcvg  12842  eulerthlemth  13030  ennnfonelemnn0  13362  ctinfomlemom  13367  mhmco  13846  gzsumreidx  14190  gzsummhm  14194  gzsumshift  14198  gsumvalfi  14201  gsump1  14206  gsumf1ofi  14209  mplsubgfileminv  15140  cnptopco  15372  lmtopcnp  15400  upxp  15422  uptx  15424  cnmpt11  15433  cnmpt21  15441  comet  15649  cnmetdval  15679  climcncf  15734  cncfco  15741  limccnpcntop  15825  dvcoapbr  15857  dvcjbr  15858  dvfre  15860  plycjlemc  15910  plycj  15911  isomninnlem  17177  iswomninnlem  17197  ismkvnnlem  17200