Theorem fvco3 5726

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5489	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5724	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∘ ccom 4735   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fvco4  5727  foco2  5904  f1ocnvfv1  5928  f1ocnvfv2  5929  fcof1  5934  fcofo  5935  cocan1  5938  cocan2  5939  isotr  5967  algrflem  6403  algrflemg  6404  difinfsn  7342  ctssdccl  7353  cc3  7530  0tonninf  10748  1tonninf  10749  seqf1oglem2  10828  seqf1og  10829  summodclem3  12004  fsumf1o  12014  fsumcl2lem  12022  fsumadd  12030  fsummulc2  12072  prodmodclem3  12199  fprodf1o  12212  fprodmul  12215  algcvg  12683  eulerthlemth  12867  ennnfonelemnn0  13106  ctinfomlemom  13111  mhmco  13636  gsumfzreidx  13987  gsumfzmhm  13993  mplsubgfileminv  14784  cnptopco  15016  lmtopcnp  15044  upxp  15066  uptx  15068  cnmpt11  15077  cnmpt21  15085  comet  15293  cnmetdval  15323  climcncf  15378  cncfco  15385  limccnpcntop  15469  dvcoapbr  15501  dvcjbr  15502  dvfre  15504  plycjlemc  15554  plycj  15555  isomninnlem  16745  iswomninnlem  16765  ismkvnnlem  16768  gfsumval  16792  gsumgfsumlem  16795  gfsump1  16798