Theorem fvco3 5717

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5482	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5715	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∘ ccom 4729   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fvco4  5718  foco2  5893  f1ocnvfv1  5917  f1ocnvfv2  5918  fcof1  5923  fcofo  5924  cocan1  5927  cocan2  5928  isotr  5956  algrflem  6393  algrflemg  6394  difinfsn  7298  ctssdccl  7309  cc3  7486  0tonninf  10701  1tonninf  10702  seqf1oglem2  10781  seqf1og  10782  summodclem3  11940  fsumf1o  11950  fsumcl2lem  11958  fsumadd  11966  fsummulc2  12008  prodmodclem3  12135  fprodf1o  12148  fprodmul  12151  algcvg  12619  eulerthlemth  12803  ennnfonelemnn0  13042  ctinfomlemom  13047  mhmco  13572  gsumfzreidx  13923  gsumfzmhm  13929  mplsubgfileminv  14713  cnptopco  14945  lmtopcnp  14973  upxp  14995  uptx  14997  cnmpt11  15006  cnmpt21  15014  comet  15222  cnmetdval  15252  climcncf  15307  cncfco  15314  limccnpcntop  15398  dvcoapbr  15430  dvcjbr  15431  dvfre  15433  plycjlemc  15483  plycj  15484  isomninnlem  16634  iswomninnlem  16653  ismkvnnlem  16656  gfsumval  16680  gsumgfsumlem  16683