Theorem fvco3 5649

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5424	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5647	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ∘ ccom 4678   Fn wfn 5265  ⟶wf 5266  ‘cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278

This theorem is referenced by:  fvco4  5650  foco2  5821  f1ocnvfv1  5845  f1ocnvfv2  5846  fcof1  5851  fcofo  5852  cocan1  5855  cocan2  5856  isotr  5884  algrflem  6314  algrflemg  6315  difinfsn  7201  ctssdccl  7212  cc3  7379  0tonninf  10583  1tonninf  10584  seqf1oglem2  10663  seqf1og  10664  summodclem3  11633  fsumf1o  11643  fsumcl2lem  11651  fsumadd  11659  fsummulc2  11701  prodmodclem3  11828  fprodf1o  11841  fprodmul  11844  algcvg  12312  eulerthlemth  12496  ennnfonelemnn0  12735  ctinfomlemom  12740  mhmco  13264  gsumfzreidx  13615  gsumfzmhm  13621  mplsubgfileminv  14404  cnptopco  14636  lmtopcnp  14664  upxp  14686  uptx  14688  cnmpt11  14697  cnmpt21  14705  comet  14913  cnmetdval  14943  climcncf  14998  cncfco  15005  limccnpcntop  15089  dvcoapbr  15121  dvcjbr  15122  dvfre  15124  plycjlemc  15174  plycj  15175  isomninnlem  15902  iswomninnlem  15921  ismkvnnlem  15924