Theorem fvco3 5587

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5365	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5585	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∘ ccom 4630   Fn wfn 5211  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224

This theorem is referenced by:  fvco4  5588  foco2  5754  f1ocnvfv1  5777  f1ocnvfv2  5778  fcof1  5783  fcofo  5784  cocan1  5787  cocan2  5788  isotr  5816  algrflem  6229  algrflemg  6230  difinfsn  7098  ctssdccl  7109  cc3  7266  0tonninf  10438  1tonninf  10439  summodclem3  11387  fsumf1o  11397  fsumcl2lem  11405  fsumadd  11413  fsummulc2  11455  prodmodclem3  11582  fprodf1o  11595  fprodmul  11598  algcvg  12047  eulerthlemth  12231  ennnfonelemnn0  12422  ctinfomlemom  12427  mhmco  12873  cnptopco  13692  lmtopcnp  13720  upxp  13742  uptx  13744  cnmpt11  13753  cnmpt21  13761  comet  13969  cnmetdval  13999  climcncf  14041  cncfco  14048  limccnpcntop  14114  dvcoapbr  14141  dvcjbr  14142  dvfre  14144  isomninnlem  14748  iswomninnlem  14767  ismkvnnlem  14770