Theorem fvco3 5567

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5347	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5565	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 281	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∘ ccom 4615   Fn wfn 5193  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  fvco4  5568  foco2  5733  f1ocnvfv1  5756  f1ocnvfv2  5757  fcof1  5762  fcofo  5763  cocan1  5766  cocan2  5767  isotr  5795  algrflem  6208  algrflemg  6209  difinfsn  7077  ctssdccl  7088  cc3  7230  0tonninf  10395  1tonninf  10396  summodclem3  11343  fsumf1o  11353  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  fsummulc2  11411  prodmodclem3  11538  fprodf1o  11551  fprodmul  11554  algcvg  12002  eulerthlemth  12186  ennnfonelemnn0  12377  ctinfomlemom  12382  mhmco  12705  cnptopco  13016  lmtopcnp  13044  upxp  13066  uptx  13068  cnmpt11  13077  cnmpt21  13085  comet  13293  cnmetdval  13323  climcncf  13365  cncfco  13372  limccnpcntop  13438  dvcoapbr  13465  dvcjbr  13466  dvfre  13468  isomninnlem  14062  iswomninnlem  14081  ismkvnnlem  14084