Theorem fvco3 5500

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5280	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5498	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 281	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∘ ccom 4551   Fn wfn 5126  ⟶wf 5127  ‘cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  fvco4  5501  foco2  5663  f1ocnvfv1  5686  f1ocnvfv2  5687  fcof1  5692  fcofo  5693  cocan1  5696  cocan2  5697  isotr  5725  algrflem  6134  algrflemg  6135  difinfsn  6993  ctssdccl  7004  cc3  7100  0tonninf  10243  1tonninf  10244  summodclem3  11181  fsumf1o  11191  fsumcl2lem  11199  fsumadd  11207  fsummulc2  11249  prodmodclem3  11376  algcvg  11765  ennnfonelemnn0  11971  ctinfomlemom  11976  cnptopco  12430  lmtopcnp  12458  upxp  12480  uptx  12482  cnmpt11  12491  cnmpt21  12499  comet  12707  cnmetdval  12737  climcncf  12779  cncfco  12786  limccnpcntop  12852  dvcoapbr  12879  dvcjbr  12880  dvfre  12882  isomninnlem  13400  iswomninnlem  13417  ismkvnnlem  13419