Theorem fvco3 5557

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5337	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5555	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 281	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ∘ ccom 4608   Fn wfn 5183  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fvco4  5558  foco2  5722  f1ocnvfv1  5745  f1ocnvfv2  5746  fcof1  5751  fcofo  5752  cocan1  5755  cocan2  5756  isotr  5784  algrflem  6197  algrflemg  6198  difinfsn  7065  ctssdccl  7076  cc3  7209  0tonninf  10374  1tonninf  10375  summodclem3  11321  fsumf1o  11331  fsumcl2lem  11339  fsumadd  11347  fsummulc2  11389  prodmodclem3  11516  fprodf1o  11529  fprodmul  11532  algcvg  11980  eulerthlemth  12164  ennnfonelemnn0  12355  ctinfomlemom  12360  cnptopco  12862  lmtopcnp  12890  upxp  12912  uptx  12914  cnmpt11  12923  cnmpt21  12931  comet  13139  cnmetdval  13169  climcncf  13211  cncfco  13218  limccnpcntop  13284  dvcoapbr  13311  dvcjbr  13312  dvfre  13314  isomninnlem  13909  iswomninnlem  13928  ismkvnnlem  13931