Theorem fvco3 5753

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5513	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5751	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∘ ccom 4758   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fvco4  5754  foco2  5932  f1ocnvfv1  5956  f1ocnvfv2  5957  fcof1  5962  fcofo  5963  cocan1  5966  cocan2  5967  isotr  5995  algrflem  6438  algrflemg  6439  difinfsn  7404  ctssdccl  7415  cc3  7598  0tonninf  10826  1tonninf  10827  seqf1oglem2  10906  seqf1og  10907  summodclem3  12091  fsumf1o  12101  fsumcl2lem  12109  fsumadd  12117  fsummulc2  12159  prodmodclem3  12286  fprodf1o  12299  fprodmul  12302  algcvg  12770  eulerthlemth  12954  ennnfonelemnn0  13257  ctinfomlemom  13262  mhmco  13745  gsumfzreidx  14090  gsumfzmhm  14096  gfsumval  14102  gsumshift  14105  gfsump1  14108  mplsubgfileminv  14981  cnptopco  15213  lmtopcnp  15241  upxp  15263  uptx  15265  cnmpt11  15274  cnmpt21  15282  comet  15490  cnmetdval  15520  climcncf  15575  cncfco  15582  limccnpcntop  15666  dvcoapbr  15698  dvcjbr  15699  dvfre  15701  plycjlemc  15751  plycj  15752  isomninnlem  16940  iswomninnlem  16960  ismkvnnlem  16963