Theorem fvco3 5635

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5410	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 5633	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∘ ccom 4668   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fvco4  5636  foco2  5803  f1ocnvfv1  5827  f1ocnvfv2  5828  fcof1  5833  fcofo  5834  cocan1  5837  cocan2  5838  isotr  5866  algrflem  6296  algrflemg  6297  difinfsn  7175  ctssdccl  7186  cc3  7353  0tonninf  10551  1tonninf  10552  seqf1oglem2  10631  seqf1og  10632  summodclem3  11564  fsumf1o  11574  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  fsummulc2  11632  prodmodclem3  11759  fprodf1o  11772  fprodmul  11775  algcvg  12243  eulerthlemth  12427  ennnfonelemnn0  12666  ctinfomlemom  12671  mhmco  13194  gsumfzreidx  13545  gsumfzmhm  13551  mplsubgfileminv  14334  cnptopco  14566  lmtopcnp  14594  upxp  14616  uptx  14618  cnmpt11  14627  cnmpt21  14635  comet  14843  cnmetdval  14873  climcncf  14928  cncfco  14935  limccnpcntop  15019  dvcoapbr  15051  dvcjbr  15052  dvfre  15054  plycjlemc  15104  plycj  15105  isomninnlem  15787  iswomninnlem  15806  ismkvnnlem  15809