Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le2sub GIF version

Theorem le2sub 8216
 Description: Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
le2sub (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐷𝐵) → (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐷)))

Proof of Theorem le2sub
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simprl 520 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3 simplr 519 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 lesub1 8211 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1216 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐵)))
6 simprr 521 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
7 lesub2 8212 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐷𝐵 ↔ (𝐶𝐵) ≤ (𝐶𝐷)))
86, 3, 2, 7syl3anc 1216 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐷𝐵 ↔ (𝐶𝐵) ≤ (𝐶𝐷)))
95, 8anbi12d 464 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐷𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ (𝐶𝐷))))
10 resubcl 8019 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
1110adantr 274 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
122, 3resubcld 8136 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
13 resubcl 8019 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
1413adantl 275 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
15 letr 7840 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ (𝐶𝐷)) → (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐷)))
1611, 12, 14, 15syl3anc 1216 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵) ≤ (𝐶𝐷)) → (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐷)))
179, 16sylbid 149 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐷𝐵) → (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐷)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℝcr 7612   ≤ cle 7794   − cmin 7926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929 This theorem is referenced by:  le2subd  8319
 Copyright terms: Public domain W3C validator