Theorem vtxdumgrfival 16744

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
vtxdumgrfival.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
vtxdumgrfival.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdumgrfival.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdumgrfival.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 5699	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
10		umgrupgr 16558	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16737	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
13	2, 12	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
14		fveqeq2 5707	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} ↔ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}))
15	14	cbvrabv 2820	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}}
16		sneq 3720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → {𝑢} = {𝑈})
17	16	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑢} ↔ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}))
18	17	spcegv 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢}))
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢}))
20		en1 7090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑦) ≈ 1o ↔ ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢})
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
22	21	ralrimivw 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
23		ss2rab 3324	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o})
25		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
26	25	breq1d 4141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ≈ 1o ↔ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
27	26	cbvrabv 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o}
28	3, 4	umgrislfupgrdom 16577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
31	5	feq2i 5530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
33		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 16579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)
36	27, 35	eqtr3id 2285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o} = ∅)
37	24, 36	sseqtrd 3286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ ∅)
38		ss0 3563	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ ∅ → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} = ∅)
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} = ∅)
40	15, 39	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
41	40	fveq2d 5702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
42		hash0 11257	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
44	43	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + 0))
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
46		hashcl 11242	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
48	47	nn0cnd 9633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℂ)
49	48	addridd 8482	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
50	13, 44, 49	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  {csn 3709   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685   ≈ cen 7024   ≼ cdom 7025  Fincfn 7026  0cc0 8185   + caddc 8188  ℕ₀cn0 9574  ♯chash 11236  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537  UMGraphcumgr 16538  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-umgren 16540  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  vtxdusgrfvedgfi  16748  1hevtxdg1en  16754