Theorem vtxdumgrfival 16310

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
vtxdumgrfival.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
vtxdumgrfival.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdumgrfival.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdumgrfival.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 5673	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
10		umgrupgr 16124	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16303	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
13	2, 12	eqtrid 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
14		fveqeq2 5681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} ↔ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}))
15	14	cbvrabv 2814	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}}
16		sneq 3702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → {𝑢} = {𝑈})
17	16	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑢} ↔ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}))
18	17	spcegv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢}))
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢}))
20		en1 7041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑦) ≈ 1o ↔ ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢})
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
22	21	ralrimivw 2618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
23		ss2rab 3316	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o})
25		fveq2 5672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
26	25	breq1d 4121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ≈ 1o ↔ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
27	26	cbvrabv 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o}
28	3, 4	umgrislfupgrdom 16143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
31	5	feq2i 5504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
33		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 16145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)
36	27, 35	eqtr3id 2281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o} = ∅)
37	24, 36	sseqtrd 3278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ ∅)
38		ss0 3551	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ ∅ → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} = ∅)
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} = ∅)
40	15, 39	eqtrid 2279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
41	40	fveq2d 5676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
42		hash0 11163	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
44	43	oveq2d 6068	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + 0))
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16301	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
46		hashcl 11148	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
48	47	nn0cnd 9557	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℂ)
49	48	addridd 8424	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
50	13, 44, 49	3eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ⊆ wss 3213  ∅c0 3510  𝒫 cpw 3671  {csn 3691   class class class wbr 4111  dom cdm 4751  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1_oc1o 6642  2_oc2o 6643   ≈ cen 6975   ≼ cdom 6976  Fincfn 6977  0cc0 8129   + caddc 8132  ℕ₀cn0 9498  ♯chash 11142  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UPGraphcupgr 16103  UMGraphcumgr 16104  VtxDegcvtxdg 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-xadd 10109  df-fz 10346  df-ihash 11143  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-upgren 16105  df-umgren 16106  df-vtxdg 16299

This theorem is referenced by:  vtxdusgrfvedgfi  16314  1hevtxdg1en  16320