Theorem vtxdumgrfival 16293

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
vtxdumgrfival.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
vtxdumgrfival.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdumgrfival.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdumgrfival.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 5671	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
10		umgrupgr 16107	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
13	2, 12	eqtrid 2277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
14		fveqeq2 5679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} ↔ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}))
15	14	cbvrabv 2812	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}}
16		sneq 3700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → {𝑢} = {𝑈})
17	16	eqeq2d 2244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑢} ↔ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}))
18	17	spcegv 2905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢}))
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢}))
20		en1 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑦) ≈ 1o ↔ ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢})
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
22	21	ralrimivw 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
23		ss2rab 3314	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o})
25		fveq2 5670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
26	25	breq1d 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ≈ 1o ↔ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
27	26	cbvrabv 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o}
28	3, 4	umgrislfupgrdom 16126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
31	5	feq2i 5502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
33		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 16128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)
36	27, 35	eqtr3id 2279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o} = ∅)
37	24, 36	sseqtrd 3276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ ∅)
38		ss0 3549	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ ∅ → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} = ∅)
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} = ∅)
40	15, 39	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
41	40	fveq2d 5674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
42		hash0 11159	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
44	43	oveq2d 6066	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + 0))
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
46		hashcl 11144	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
48	47	nn0cnd 9555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℂ)
49	48	addridd 8422	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
50	13, 44, 49	3eqtrd 2269	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524   ⊆ wss 3211  ∅c0 3508  𝒫 cpw 3669  {csn 3689   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1_oc1o 6640  2_oc2o 6641   ≈ cen 6973   ≼ cdom 6974  Fincfn 6975  0cc0 8127   + caddc 8130  ℕ₀cn0 9496  ♯chash 11138  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UPGraphcupgr 16086  UMGraphcumgr 16087  VtxDegcvtxdg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-xadd 10106  df-fz 10343  df-ihash 11139  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-upgren 16088  df-umgren 16089  df-vtxdg 16282

This theorem is referenced by:  vtxdusgrfvedgfi  16297  1hevtxdg1en  16303