Theorem vtxdumgrfival 16155

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
vtxdumgrfival.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
vtxdumgrfival.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdumgrfival.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdumgrfival.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 5640	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
10		umgrupgr 15969	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16148	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
13	2, 12	eqtrid 2276	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
14		fveqeq2 5648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} ↔ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}))
15	14	cbvrabv 2801	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}}
16		sneq 3680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → {𝑢} = {𝑈})
17	16	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑢} ↔ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}))
18	17	spcegv 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢}))
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢}))
20		en1 6973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑦) ≈ 1o ↔ ∃𝑢(𝐼‘𝑦) = {𝑢})
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
22	21	ralrimivw 2606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
23		ss2rab 3303	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐼‘𝑦) = {𝑈} → (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o})
25		fveq2 5639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
26	25	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ≈ 1o ↔ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o))
27	26	cbvrabv 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o}
28	3, 4	umgrislfupgrdom 15988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
31	5	feq2i 5476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
33		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 15990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)
36	27, 35	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) ≈ 1o} = ∅)
37	24, 36	sseqtrd 3265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ ∅)
38		ss0 3535	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} ⊆ ∅ → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} = ∅)
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑦) = {𝑈}} = ∅)
40	15, 39	eqtrid 2276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
41	40	fveq2d 5643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
42		hash0 11059	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
44	43	oveq2d 6034	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + 0))
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
46		hashcl 11044	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
48	47	nn0cnd 9457	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℂ)
49	48	addridd 8328	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + 0) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))
50	13, 44, 49	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  𝒫 cpw 3652  {csn 3669   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576   ≈ cen 6907   ≼ cdom 6908  Fincfn 6909  0cc0 8032   + caddc 8035  ℕ₀cn0 9402  ♯chash 11038  Vtxcvtx 15869  iEdgciedg 15870  UPGraphcupgr 15948  UMGraphcumgr 15949  VtxDegcvtxdg 16143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-ihash 11039  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-edgf 15862  df-vtx 15871  df-iedg 15872  df-upgren 15950  df-umgren 15951  df-vtxdg 16144

This theorem is referenced by:  vtxdusgrfvedgfi  16159  1hevtxdg1en  16165