Theorem lmodvnpcan 14345

Description: Cancellation law for vector subtraction (Contributed by NM, 19-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod4.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvaddsub4.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvnpcan	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem lmodvnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14298	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmod4.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmod4.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		lmodvaddsub4.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grpnpcan 13665	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
6	1, 5	syl3an1 1304	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  Grpcgrp 13573  -_gcsg 13575  LModclmod 14291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-lmod 14293

This theorem is referenced by: (None)