Theorem gsumfzreidx 13443

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. Corresponds to the first equation in [Lang] p. 5 with 𝑀 = 1. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumreidx.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumreidx.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumreidx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzreidx.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzreidx.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumreidx.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
gsumreidx.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
gsumfzreidx	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Proof of Theorem gsumfzreidx

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
2	1	iftrued 3568	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
3		gsumreidx.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		gsumreidx.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		gsumreidx.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumfzreidx.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		gsumfzreidx.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		gsumreidx.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsumfzval 13010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
12		gsumreidx.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
13		f1of 5504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
15		fco 5423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ∧ 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁)) → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 16	gsumfzval 13010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
19	1	iftrued 3568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)) = 0 )
20	18, 19	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = 0 )
21	2, 11, 20	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))
22	6	cmnmndd 13414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
23	22	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
24		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	3, 5	mndcl 13040	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
28	6	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
29	3, 5	cmncom 13408	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
30	28, 24, 25, 29	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
31	22	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
32	3, 5	mndass 13041	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
33	31, 32	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
34	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	34	zred 9445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	35	zred 9445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
39	36, 37, 38	nltled 8145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
40		eluz2 9604	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
41	34, 35, 39, 40	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
42		ssidd 3204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐵 ⊆ 𝐵)
43		plusgslid 12766	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
44	43	slotex 12681	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
45	6, 44	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
46	45	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
47	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
48		f1ocnv 5517	. . . . 5 ⊢ (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
49	47, 48	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
50	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
51	50	ffvelcdmda 5697	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
52	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53	12, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54		f1of 5504	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
56	55	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
57	56	ffvelcdmda 5697	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (◡𝐻‘𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
58		fvco3 5632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (◡𝐻‘𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)) = (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))))
59	52, 57, 58	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)) = (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))))
60		f1ocnvfv2 5825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘(◡𝐻‘𝑘)) = 𝑘)
61	47, 60	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘(◡𝐻‘𝑘)) = 𝑘)
62	61	fveq2d 5562	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))) = (𝐹‘𝑘))
63	59, 62	eqtr2d 2230	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)))
64	7, 8	fzfigd 10508	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
65	9, 64	fexd 5792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
66	14, 64	fexd 5792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
67		coexg 5214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
68	65, 66, 67	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
69	68	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
70	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
71	64	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
72	70, 71	fexd 5792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
73	27, 30, 33, 41, 42, 46, 49, 51, 63, 69, 72	seqf1og 10598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
74	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
75	38	iffalsed 3571	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
76	74, 75	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
77	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
78	38	iffalsed 3571	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
79	77, 78	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
80	73, 76, 79	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))
81		zdclt 9400	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
82	8, 7, 81	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
83		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
84	82, 83	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
85	21, 80, 84	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ifcif 3561   class class class wbr 4033  ^◡ccnv 4662   ∘ ccom 4667  ⟶wf 5254  –1-1-onto→wf1o 5257  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Fincfn 6799   < clt 8059   ≤ cle 8060  ℤcz 9323  ℤ_≥cuz 9598  ...cfz 10080  seqcseq 10524  Basecbs 12654  +_gcplusg 12731  0_gc0g 12903   Σ_g cgsu 12904  Mndcmnd 13033  CMndccmn 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-inn 8988  df-2 9046  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-seqfrec 10525  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-plusg 12744  df-0g 12905  df-igsum 12906  df-mgm 12975  df-sgrp 13021  df-mnd 13034  df-cmn 13392

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15280