Theorem gsumfzreidx 13860

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. Corresponds to the first equation in [Lang] p. 5 with 𝑀 = 1. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumreidx.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumreidx.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumreidx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzreidx.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzreidx.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumreidx.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
gsumreidx.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
gsumfzreidx	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Proof of Theorem gsumfzreidx

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
2	1	iftrued 3609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
3		gsumreidx.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		gsumreidx.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		gsumreidx.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumfzreidx.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		gsumfzreidx.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		gsumreidx.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsumfzval 13410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
12		gsumreidx.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
13		f1of 5568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
15		fco 5485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ∧ 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁)) → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 16	gsumfzval 13410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
19	1	iftrued 3609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)) = 0 )
20	18, 19	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = 0 )
21	2, 11, 20	3eqtr4d 2272	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))
22	6	cmnmndd 13831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
23	22	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
24		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	3, 5	mndcl 13442	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
28	6	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
29	3, 5	cmncom 13825	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
30	28, 24, 25, 29	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
31	22	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
32	3, 5	mndass 13443	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
33	31, 32	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
34	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	34	zred 9557	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	35	zred 9557	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
39	36, 37, 38	nltled 8255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
40		eluz2 9716	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
41	34, 35, 39, 40	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
42		ssidd 3245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐵 ⊆ 𝐵)
43		plusgslid 13131	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
44	43	slotex 13045	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
45	6, 44	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
46	45	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
47	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
48		f1ocnv 5581	. . . . 5 ⊢ (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
49	47, 48	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
50	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
51	50	ffvelcdmda 5763	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
52	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53	12, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54		f1of 5568	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
56	55	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
57	56	ffvelcdmda 5763	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (◡𝐻‘𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
58		fvco3 5698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (◡𝐻‘𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)) = (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))))
59	52, 57, 58	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)) = (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))))
60		f1ocnvfv2 5895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘(◡𝐻‘𝑘)) = 𝑘)
61	47, 60	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘(◡𝐻‘𝑘)) = 𝑘)
62	61	fveq2d 5627	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))) = (𝐹‘𝑘))
63	59, 62	eqtr2d 2263	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)))
64	7, 8	fzfigd 10640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
65	9, 64	fexd 5862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
66	14, 64	fexd 5862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
67		coexg 5269	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
68	65, 66, 67	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
69	68	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
70	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
71	64	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
72	70, 71	fexd 5862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
73	27, 30, 33, 41, 42, 46, 49, 51, 63, 69, 72	seqf1og 10730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
74	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
75	38	iffalsed 3612	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
76	74, 75	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
77	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
78	38	iffalsed 3612	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
79	77, 78	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
80	73, 76, 79	3eqtr4d 2272	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))
81		zdclt 9512	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
82	8, 7, 81	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
83		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
84	82, 83	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
85	21, 80, 84	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ifcif 3602   class class class wbr 4082  ^◡ccnv 4715   ∘ ccom 4720  ⟶wf 5310  –1-1-onto→wf1o 5313  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  Fincfn 6877   < clt 8169   ≤ cle 8170  ℤcz 9434  ℤ_≥cuz 9710  ...cfz 10192  seqcseq 10656  Basecbs 13018  +_gcplusg 13096  0_gc0g 13275   Σ_g cgsu 13276  Mndcmnd 13435  CMndccmn 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-inn 9099  df-2 9157  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-igsum 13278  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-cmn 13809

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15736