ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gsumfzreidx GIF version

Theorem gsumfzreidx 13396
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. Corresponds to the first equation in [Lang] p. 5 with 𝑀 = 1. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumreidx.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumreidx.z 0 = (0g𝐺)
gsumreidx.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzreidx.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzreidx.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
gsumreidx.f (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
gsumreidx.h (𝜑𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
gsumfzreidx (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))

Proof of Theorem gsumfzreidx
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
21iftrued 3564 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
3 gsumreidx.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 gsumreidx.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
5 eqid 2193 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 gsumreidx.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
7 gsumfzreidx.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 gsumfzreidx.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 gsumreidx.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsumfzval 12964 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
1110adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
12 gsumreidx.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
13 f1of 5492 . . . . . . . 8 (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
15 fco 5411 . . . . . . 7 ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
169, 14, 15syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
173, 4, 5, 6, 7, 8, 16gsumfzval 12964 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), (𝐹𝐻))‘𝑁)))
1817adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), (𝐹𝐻))‘𝑁)))
191iftrued 3564 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), (𝐹𝐻))‘𝑁)) = 0 )
2018, 19eqtrd 2226 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = 0 )
212, 11, 203eqtr4d 2236 . 2 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
226cmnmndd 13367 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2322ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
24 simprl 529 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
25 simprr 531 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
263, 5mndcl 12994 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
2723, 24, 25, 26syl3anc 1249 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
286ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
293, 5cmncom 13361 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
3028, 24, 25, 29syl3anc 1249 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
3122ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
323, 5mndass 12995 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
3331, 32sylancom 420 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
347adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
358adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3634zred 9429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
3735zred 9429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
38 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
3936, 37, 38nltled 8130 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀𝑁)
40 eluz2 9588 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
4134, 35, 39, 40syl3anbrc 1183 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
42 ssidd 3200 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐵𝐵)
43 plusgslid 12720 . . . . . . 7 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4443slotex 12635 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → (+g𝐺) ∈ V)
456, 44syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝐺) ∈ V)
4645adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g𝐺) ∈ V)
4712adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
48 f1ocnv 5505 . . . . 5 (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4947, 48syl 14 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5016adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
5150ffvelcdmda 5685 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
5214ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5312, 48syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54 f1of 5492 . . . . . . . . 9 (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5553, 54syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5655adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5756ffvelcdmda 5685 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
58 fvco3 5620 . . . . . 6 ((𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝐻𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝐻)‘(𝐻𝑘)) = (𝐹‘(𝐻‘(𝐻𝑘))))
5952, 57, 58syl2anc 411 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝐻)‘(𝐻𝑘)) = (𝐹‘(𝐻‘(𝐻𝑘))))
60 f1ocnvfv2 5813 . . . . . . 7 ((𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘(𝐻𝑘)) = 𝑘)
6147, 60sylan 283 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘(𝐻𝑘)) = 𝑘)
6261fveq2d 5550 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐻‘(𝐻𝑘))) = (𝐹𝑘))
6359, 62eqtr2d 2227 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = ((𝐹𝐻)‘(𝐻𝑘)))
647, 8fzfigd 10492 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
659, 64fexd 5780 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
6614, 64fexd 5780 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ V)
67 coexg 5202 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝐹𝐻) ∈ V)
6865, 66, 67syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
6968adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹𝐻) ∈ V)
709adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
7164adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
7270, 71fexd 5780 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
7327, 30, 33, 41, 42, 46, 49, 51, 63, 69, 72seqf1og 10582 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀((+g𝐺), (𝐹𝐻))‘𝑁))
7410adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
7538iffalsed 3567 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁))
7674, 75eqtrd 2226 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁))
7717adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), (𝐹𝐻))‘𝑁)))
7838iffalsed 3567 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g𝐺), (𝐹𝐻))‘𝑁)) = (seq𝑀((+g𝐺), (𝐹𝐻))‘𝑁))
7977, 78eqtrd 2226 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹𝐻)) = (seq𝑀((+g𝐺), (𝐹𝐻))‘𝑁))
8073, 76, 793eqtr4d 2236 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
81 zdclt 9384 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
828, 7, 81syl2anc 411 . . 3 (𝜑DECID 𝑁 < 𝑀)
83 exmiddc 837 . . 3 (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
8482, 83syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
8521, 80, 84mpjaodan 799 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 709  DECID wdc 835  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  Vcvv 2760  ifcif 3557   class class class wbr 4029  ccnv 4654  ccom 4659  wf 5242  1-1-ontowf1o 5245  cfv 5246  (class class class)co 5910  Fincfn 6785   < clt 8044  cle 8045  cz 9307  cuz 9582  ...cfz 10064  seqcseq 10508  Basecbs 12608  +gcplusg 12685  0gc0g 12857   Σg cgsu 12858  Mndcmnd 12987  CMndccmn 13343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-inn 8973  df-2 9031  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-plusg 12698  df-0g 12859  df-igsum 12860  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-cmn 13345
This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15136
  Copyright terms: Public domain W3C validator