Theorem gsumfzreidx 13985

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. Corresponds to the first equation in [Lang] p. 5 with 𝑀 = 1. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumreidx.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumreidx.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumreidx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzreidx.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzreidx.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumreidx.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
gsumreidx.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
gsumfzreidx	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Proof of Theorem gsumfzreidx

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
2	1	iftrued 3616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
3		gsumreidx.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		gsumreidx.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		gsumreidx.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumfzreidx.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		gsumfzreidx.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		gsumreidx.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	gsumfzval 13535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
12		gsumreidx.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
13		f1of 5592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
15		fco 5507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ∧ 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁)) → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 16	gsumfzval 13535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
19	1	iftrued 3616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)) = 0 )
20	18, 19	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = 0 )
21	2, 11, 20	3eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))
22	6	cmnmndd 13956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
23	22	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
24		simprl 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simprr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	3, 5	mndcl 13567	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
28	6	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
29	3, 5	cmncom 13950	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
30	28, 24, 25, 29	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
31	22	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
32	3, 5	mndass 13568	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
33	31, 32	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
34	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	34	zred 9645	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	35	zred 9645	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
39	36, 37, 38	nltled 8343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
40		eluz2 9804	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
41	34, 35, 39, 40	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
42		ssidd 3249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐵 ⊆ 𝐵)
43		plusgslid 13256	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
44	43	slotex 13170	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
45	6, 44	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
46	45	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
47	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
48		f1ocnv 5605	. . . . 5 ⊢ (𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
49	47, 48	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
50	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹 ∘ 𝐻):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
51	50	ffvelcdmda 5790	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
52	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53	12, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
54		f1of 5592	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
56	55	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ◡𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
57	56	ffvelcdmda 5790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (◡𝐻‘𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
58		fvco3 5726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (◡𝐻‘𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)) = (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))))
59	52, 57, 58	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)) = (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))))
60		f1ocnvfv2 5929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘(◡𝐻‘𝑘)) = 𝑘)
61	47, 60	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘(◡𝐻‘𝑘)) = 𝑘)
62	61	fveq2d 5652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐻‘(◡𝐻‘𝑘))) = (𝐹‘𝑘))
63	59, 62	eqtr2d 2265	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ∘ 𝐻)‘(◡𝐻‘𝑘)))
64	7, 8	fzfigd 10737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
65	9, 64	fexd 5894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
66	14, 64	fexd 5894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
67		coexg 5288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
68	65, 66, 67	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
69	68	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
70	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
71	64	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
72	70, 71	fexd 5894	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
73	27, 30, 33, 41, 42, 46, 49, 51, 63, 69, 72	seqf1og 10827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
74	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
75	38	iffalsed 3619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
76	74, 75	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
77	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)))
78	38	iffalsed 3619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
79	77, 78	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), (𝐹 ∘ 𝐻))‘𝑁))
80	73, 76, 79	3eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))
81		zdclt 9600	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
82	8, 7, 81	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
83		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
84	82, 83	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
85	21, 80, 84	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ifcif 3607   class class class wbr 4093  ^◡ccnv 4730   ∘ ccom 4735  ⟶wf 5329  –1-1-onto→wf1o 5332  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Fincfn 6952   < clt 8257   ≤ cle 8258  ℤcz 9522  ℤ_≥cuz 9798  ...cfz 10286  seqcseq 10753  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  0_gc0g 13400   Σ_g cgsu 13401  Mndcmnd 13560  CMndccmn 13932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-igsum 13403  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-cmn 13934

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15871