Theorem srgass 13651

Description: Associative law for the multiplication operation of a semiring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgass	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem srgass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 13648	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		simpr1 1005	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		srgcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 13606	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8	4, 7	eleqtrd 2283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9		simpr2 1006	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9, 7	eleqtrd 2283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11		simpr3 1007	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	11, 7	eleqtrd 2283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
15	13, 14	mndass 13174	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
16	3, 8, 10, 12, 15	syl13anc 1251	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
17		srgcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpplusgg 13604	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	19	oveqd 5951	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
21	19	oveqd 5951	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
22	21	oveq1d 5949	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
23	20, 22	eqtrd 2237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
24	19	oveqd 5951	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)))
25	19	oveqd 5951	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 · 𝑍) = (𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
26	25	oveq2d 5950	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
27	24, 26	eqtrd 2237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
28	16, 23, 27	3eqtr4d 2247	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828  ._rcmulr 12829  Mndcmnd 13166  mulGrpcmgp 13600  SRingcsrg 13643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-0g 13008  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-mgp 13601  df-srg 13644

This theorem is referenced by:  srgpcomp  13670  srgpcompp  13671  srgpcomppsc  13672