ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgass GIF version

Theorem srgass 13159
Description: Associative law for the multiplication operation of a semiring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
srgcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgass ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท ๐‘) = (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem srgass
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . 5 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
21srgmgp 13156 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
32adantr 276 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
4 simpr1 1003 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
5 srgcl.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
61, 5mgpbasg 13141 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
76adantr 276 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
84, 7eleqtrd 2256 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
9 simpr2 1004 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
109, 7eleqtrd 2256 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
11 simpr3 1005 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1211, 7eleqtrd 2256 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
13 eqid 2177 . . . 4 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
14 eqid 2177 . . . 4 (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
1513, 14mndass 12830 . . 3 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))) โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘)))
163, 8, 10, 12, 15syl13anc 1240 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘)))
17 srgcl.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
181, 17mgpplusgg 13139 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1918adantr 276 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
2019oveqd 5894 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘))
2119oveqd 5894 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ))
2221oveq1d 5892 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘) = ((๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘))
2320, 22eqtrd 2210 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘))
2419oveqd 5894 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท ๐‘)) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ ยท ๐‘)))
2519oveqd 5894 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Œ ยท ๐‘) = (๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘))
2625oveq2d 5893 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ ยท ๐‘)) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘)))
2724, 26eqtrd 2210 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท ๐‘)) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘)))
2816, 23, 273eqtr4d 2220 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท ๐‘) = (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  Mndcmnd 12822  mulGrpcmgp 13135  SRingcsrg 13151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mgp 13136  df-srg 13152
This theorem is referenced by:  srgpcomp  13178  srgpcompp  13179  srgpcomppsc  13180
  Copyright terms: Public domain W3C validator