ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringass GIF version

Theorem ringass 13197
Description: Associative law for multiplication in a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringass ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท ๐‘) = (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem ringass
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . 5 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
21ringmgp 13183 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
32adantr 276 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
4 simpr1 1003 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
5 ringcl.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
61, 5mgpbasg 13134 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
76adantr 276 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
84, 7eleqtrd 2256 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
9 simpr2 1004 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
109, 7eleqtrd 2256 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
11 simpr3 1005 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1211, 7eleqtrd 2256 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
13 eqid 2177 . . . 4 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
14 eqid 2177 . . . 4 (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
1513, 14mndass 12824 . . 3 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))) โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘)))
163, 8, 10, 12, 15syl13anc 1240 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘)))
17 ringcl.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
181, 17mgpplusgg 13132 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1918adantr 276 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
2019oveqd 5891 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ))
21 eqidd 2178 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ = ๐‘)
2219, 20, 21oveq123d 5895 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท ๐‘) = ((๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘))
23 eqidd 2178 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘‹)
2419oveqd 5891 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Œ ยท ๐‘) = (๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘))
2519, 23, 24oveq123d 5895 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท ๐‘)) = (๐‘‹(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘)))
2616, 22, 253eqtr4d 2220 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท ๐‘) = (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461  +gcplusg 12535  .rcmulr 12536  Mndcmnd 12816  mulGrpcmgp 13128  Ringcrg 13177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-mgp 13129  df-ring 13179
This theorem is referenced by:  ringinvnzdiv  13225  ringmneg1  13228  ringmneg2  13229  ringressid  13236  opprring  13247  dvdsrtr  13268  dvdsrmul1  13269  unitgrp  13283  dvrass  13306  dvrcan1  13307  rdivmuldivd  13311  subrginv  13356  issubrg2  13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator