ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gsumfzmptfidmadd GIF version

Theorem gsumfzmptfidmadd 13398
Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p + = (+g𝐺)
gsummptfidmadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzmptfidmadd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.c ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶𝐵)
gsumfzmptfidmadd.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷𝐵)
gsumfzmptfidmadd.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
gsumfzmptfidmadd.h 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumfzmptfidmadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd
Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
21iftrued 3564 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (0g𝐺))
3 gsummptfidmadd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2193 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 gsummptfidmadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
6 gsummptfidmadd.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
7 gsumfzmptfidmadd.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 gsumfzmptfidmadd.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
96cmnmndd 13367 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
109adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11 gsumfzmptfidmadd.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶𝐵)
12 gsumfzmptfidmadd.d . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷𝐵)
133, 5mndcl 12994 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1249 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
1514fmpttd 5705 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
163, 4, 5, 6, 7, 8, 15gsumfzval 12964 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
1716adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
18 gsumfzmptfidmadd.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
1911, 18fmptd 5704 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
203, 4, 5, 6, 7, 8, 19gsumfzval 12964 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2120adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
221iftrued 3564 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (0g𝐺))
2321, 22eqtrd 2226 . . . . 5 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g𝐺))
24 gsumfzmptfidmadd.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)
2512, 24fmptd 5704 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
263, 4, 5, 6, 7, 8, 25gsumfzval 12964 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
2726adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
281iftrued 3564 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (0g𝐺))
2927, 28eqtrd 2226 . . . . 5 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (0g𝐺))
3023, 29oveq12d 5928 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((0g𝐺) + (0g𝐺)))
313, 4mndidcl 13001 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
323, 5, 4mndlid 13006 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
339, 31, 32syl2anc2 412 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
3433adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
3530, 34eqtrd 2226 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = (0g𝐺))
362, 17, 353eqtr4d 2236 . 2 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
379ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
38 simprl 529 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → 𝑝𝐵)
39 simprr 531 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → 𝑞𝐵)
403, 5mndcl 12994 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1249 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
426ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
433, 5cmncom 13361 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
4442, 38, 39, 43syl3anc 1249 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
459ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
463, 5mndass 12995 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
4745, 46sylancom 420 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
487adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
498adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5048zred 9429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
5149zred 9429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
52 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
5350, 51, 52nltled 8130 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀𝑁)
54 eluz2 9588 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
5548, 49, 53, 54syl3anbrc 1183 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5619adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
5756ffvelcdmda 5685 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
5825adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
5958ffvelcdmda 5685 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
607, 8fzfigd 10492 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
6118a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶))
6224a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
6360, 11, 12, 61, 62offval2 6138 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻) = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))
6463fveq1d 5548 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
6564ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
6619ffnd 5396 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
6725ffnd 5396 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (𝑀...𝑁))
68 inidm 3368 . . . . . . 7 ((𝑀...𝑁) ∩ (𝑀...𝑁)) = (𝑀...𝑁)
69 eqidd 2194 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
70 eqidd 2194 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
719adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
7219ffvelcdmda 5685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
7325ffvelcdmda 5685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
743, 5mndcl 12994 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) + (𝐻𝑘)) ∈ 𝐵)
7571, 72, 73, 74syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) + (𝐻𝑘)) ∈ 𝐵)
7666, 67, 60, 60, 68, 69, 70, 75ofvalg 6132 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐻𝑘)))
7776adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐻𝑘)))
7865, 77eqtr3d 2228 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐻𝑘)))
79 plusgslid 12720 . . . . . . . 8 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
8079slotex 12635 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → (+g𝐺) ∈ V)
816, 80syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝐺) ∈ V)
825, 81eqeltrid 2280 . . . . 5 (𝜑+ ∈ V)
8382adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → + ∈ V)
8419, 60fexd 5780 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
8584adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
8625, 60fexd 5780 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ V)
8786adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻 ∈ V)
8815, 60fexd 5780 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
8988adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
9041, 44, 47, 55, 57, 59, 78, 83, 85, 87, 89seqcaoprg 10557 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
9116adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
9252iffalsed 3567 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
9391, 92eqtrd 2226 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
9420adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
9552iffalsed 3567 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
9694, 95eqtrd 2226 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
9726adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
9852iffalsed 3567 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
9997, 98eqtrd 2226 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
10096, 99oveq12d 5928 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
10190, 93, 1003eqtr4d 2236 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
102 zdclt 9384 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
1038, 7, 102syl2anc 411 . . 3 (𝜑DECID 𝑁 < 𝑀)
104 exmiddc 837 . . 3 (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
105103, 104syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
10636, 101, 105mpjaodan 799 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 709  DECID wdc 835  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  Vcvv 2760  ifcif 3557   class class class wbr 4029  cmpt 4090  wf 5242  cfv 5246  (class class class)co 5910  𝑓 cof 6120  Fincfn 6785   < clt 8044  cle 8045  cz 9307  cuz 9582  ...cfz 10064  seqcseq 10508  Basecbs 12608  +gcplusg 12685  0gc0g 12857   Σg cgsu 12858  Mndcmnd 12987  CMndccmn 13343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-of 6122  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-2 9031  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-plusg 12698  df-0g 12859  df-igsum 12860  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-cmn 13345
This theorem is referenced by:  gsumfzmptfidmadd2  13399
  Copyright terms: Public domain W3C validator