Theorem gsumfzmptfidmadd 13944

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzmptfidmadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumfzmptfidmadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsumfzmptfidmadd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
gsumfzmptfidmadd.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
2	1	iftrued 3612	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
3		gsummptfidmadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		gsummptfidmadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		gsummptfidmadd.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6	cmnmndd 13913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		gsumfzmptfidmadd.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		gsumfzmptfidmadd.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
13	3, 5	mndcl 13524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 5802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
16	3, 4, 5, 6, 7, 8, 15	gsumfzval 13492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
18		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
19	11, 18	fmptd 5801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
20	3, 4, 5, 6, 7, 8, 19	gsumfzval 13492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
22	1	iftrued 3612	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
23	21, 22	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
24		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)
25	12, 24	fmptd 5801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
26	3, 4, 5, 6, 7, 8, 25	gsumfzval 13492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
28	1	iftrued 3612	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
29	27, 28	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (0g‘𝐺))
30	23, 29	oveq12d 6036	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
31	3, 4	mndidcl 13531	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
32	3, 5, 4	mndlid 13536	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
33	9, 31, 32	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
34	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
35	30, 34	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = (0g‘𝐺))
36	2, 17, 35	3eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
37	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
38		simprl 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
39		simprr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
40	3, 5	mndcl 13524	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
42	6	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
43	3, 5	cmncom 13907	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
44	42, 38, 39, 43	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
45	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
46	3, 5	mndass 13525	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
47	45, 46	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
48	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
49	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
50	48	zred 9602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
51	49	zred 9602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
52		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
53	50, 51, 52	nltled 8300	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
54		eluz2 9761	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
55	48, 49, 53, 54	syl3anbrc 1207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
57	56	ffvelcdmda 5782	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
58	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
59	58	ffvelcdmda 5782	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
60	7, 8	fzfigd 10694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
61	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶))
62	24	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
63	60, 11, 12, 61, 62	offval2 6251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))
64	63	fveq1d 5641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
65	64	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
66	19	ffnd 5483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
67	25	ffnd 5483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑀...𝑁))
68		inidm 3416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ (𝑀...𝑁)) = (𝑀...𝑁)
69		eqidd 2232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
70		eqidd 2232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
71	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
72	19	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
73	25	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
74	3, 5	mndcl 13524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) ∈ 𝐵)
75	71, 72, 73, 74	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) ∈ 𝐵)
76	66, 67, 60, 60, 68, 69, 70, 75	ofvalg 6245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
77	76	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
78	65, 77	eqtr3d 2266	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
79		plusgslid 13213	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
80	79	slotex 13127	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
81	6, 80	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
82	5, 81	eqeltrid 2318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
83	82	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → + ∈ V)
84	19, 60	fexd 5884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
85	84	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
86	25, 60	fexd 5884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
87	86	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻 ∈ V)
88	15, 60	fexd 5884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
89	88	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
90	41, 44, 47, 55, 57, 59, 78, 83, 85, 87, 89	seqcaoprg 10759	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
91	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
92	52	iffalsed 3615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
93	91, 92	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
94	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
95	52	iffalsed 3615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
96	94, 95	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
97	26	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
98	52	iffalsed 3615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
99	97, 98	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
100	96, 99	oveq12d 6036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
101	90, 93, 100	3eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
102		zdclt 9557	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
103	8, 7, 102	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
104		exmiddc 843	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
105	103, 104	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
106	36, 101, 105	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ifcif 3605   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ∘_𝑓 cof 6233  Fincfn 6909   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  seqcseq 10710  Basecbs 13100  +_gcplusg 13178  0_gc0g 13357   Σ_g cgsu 13358  Mndcmnd 13517  CMndccmn 13889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-0g 13359  df-igsum 13360  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-cmn 13891

This theorem is referenced by:  gsumfzmptfidmadd2  13945