Theorem gsumfzmptfidmadd 13409

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzmptfidmadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumfzmptfidmadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsumfzmptfidmadd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
gsumfzmptfidmadd.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
2	1	iftrued 3564	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
3		gsummptfidmadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		gsummptfidmadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		gsummptfidmadd.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6	cmnmndd 13378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		gsumfzmptfidmadd.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		gsumfzmptfidmadd.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
13	3, 5	mndcl 13004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 5713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
16	3, 4, 5, 6, 7, 8, 15	gsumfzval 12974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
18		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
19	11, 18	fmptd 5712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
20	3, 4, 5, 6, 7, 8, 19	gsumfzval 12974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
22	1	iftrued 3564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
23	21, 22	eqtrd 2226	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
24		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)
25	12, 24	fmptd 5712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
26	3, 4, 5, 6, 7, 8, 25	gsumfzval 12974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
28	1	iftrued 3564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
29	27, 28	eqtrd 2226	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (0g‘𝐺))
30	23, 29	oveq12d 5936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
31	3, 4	mndidcl 13011	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
32	3, 5, 4	mndlid 13016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
33	9, 31, 32	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
34	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
35	30, 34	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = (0g‘𝐺))
36	2, 17, 35	3eqtr4d 2236	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
37	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
38		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
39		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
40	3, 5	mndcl 13004	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
42	6	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
43	3, 5	cmncom 13372	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
44	42, 38, 39, 43	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
45	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
46	3, 5	mndass 13005	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
47	45, 46	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
48	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
49	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
50	48	zred 9439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
51	49	zred 9439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
52		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
53	50, 51, 52	nltled 8140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
54		eluz2 9598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
55	48, 49, 53, 54	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
57	56	ffvelcdmda 5693	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
58	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
59	58	ffvelcdmda 5693	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
60	7, 8	fzfigd 10502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
61	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶))
62	24	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
63	60, 11, 12, 61, 62	offval2 6146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))
64	63	fveq1d 5556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
65	64	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
66	19	ffnd 5404	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
67	25	ffnd 5404	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑀...𝑁))
68		inidm 3368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ (𝑀...𝑁)) = (𝑀...𝑁)
69		eqidd 2194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
70		eqidd 2194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
71	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
72	19	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
73	25	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
74	3, 5	mndcl 13004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) ∈ 𝐵)
75	71, 72, 73, 74	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) ∈ 𝐵)
76	66, 67, 60, 60, 68, 69, 70, 75	ofvalg 6140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
77	76	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
78	65, 77	eqtr3d 2228	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
79		plusgslid 12730	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
80	79	slotex 12645	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
81	6, 80	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
82	5, 81	eqeltrid 2280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
83	82	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → + ∈ V)
84	19, 60	fexd 5788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
85	84	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
86	25, 60	fexd 5788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
87	86	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻 ∈ V)
88	15, 60	fexd 5788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
89	88	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
90	41, 44, 47, 55, 57, 59, 78, 83, 85, 87, 89	seqcaoprg 10567	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
91	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
92	52	iffalsed 3567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
93	91, 92	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
94	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
95	52	iffalsed 3567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
96	94, 95	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
97	26	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
98	52	iffalsed 3567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
99	97, 98	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
100	96, 99	oveq12d 5936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
101	90, 93, 100	3eqtr4d 2236	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
102		zdclt 9394	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
103	8, 7, 102	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
104		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
105	103, 104	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
106	36, 101, 105	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ifcif 3557   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ∘_𝑓 cof 6128  Fincfn 6794   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074  seqcseq 10518  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867   Σ_g cgsu 12868  Mndcmnd 12997  CMndccmn 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-cmn 13356

This theorem is referenced by:  gsumfzmptfidmadd2  13410