Theorem gsumfzmptfidmadd 13916

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzmptfidmadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumfzmptfidmadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsumfzmptfidmadd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
gsumfzmptfidmadd.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
2	1	iftrued 3610	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
3		gsummptfidmadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		gsummptfidmadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		gsummptfidmadd.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6	cmnmndd 13885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		gsumfzmptfidmadd.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		gsumfzmptfidmadd.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
13	3, 5	mndcl 13496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 5798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
16	3, 4, 5, 6, 7, 8, 15	gsumfzval 13464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
18		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
19	11, 18	fmptd 5797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
20	3, 4, 5, 6, 7, 8, 19	gsumfzval 13464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
22	1	iftrued 3610	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
23	21, 22	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
24		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)
25	12, 24	fmptd 5797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
26	3, 4, 5, 6, 7, 8, 25	gsumfzval 13464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
28	1	iftrued 3610	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
29	27, 28	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (0g‘𝐺))
30	23, 29	oveq12d 6031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
31	3, 4	mndidcl 13503	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
32	3, 5, 4	mndlid 13508	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
33	9, 31, 32	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
34	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
35	30, 34	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = (0g‘𝐺))
36	2, 17, 35	3eqtr4d 2272	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
37	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
38		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
39		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
40	3, 5	mndcl 13496	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
42	6	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
43	3, 5	cmncom 13879	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
44	42, 38, 39, 43	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
45	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
46	3, 5	mndass 13497	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
47	45, 46	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
48	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
49	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
50	48	zred 9592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
51	49	zred 9592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
52		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
53	50, 51, 52	nltled 8290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
54		eluz2 9751	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
55	48, 49, 53, 54	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
57	56	ffvelcdmda 5778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
58	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
59	58	ffvelcdmda 5778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
60	7, 8	fzfigd 10683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
61	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶))
62	24	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
63	60, 11, 12, 61, 62	offval2 6246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))
64	63	fveq1d 5637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
65	64	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
66	19	ffnd 5480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
67	25	ffnd 5480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑀...𝑁))
68		inidm 3414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ (𝑀...𝑁)) = (𝑀...𝑁)
69		eqidd 2230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
70		eqidd 2230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
71	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
72	19	ffvelcdmda 5778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
73	25	ffvelcdmda 5778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
74	3, 5	mndcl 13496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) ∈ 𝐵)
75	71, 72, 73, 74	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) ∈ 𝐵)
76	66, 67, 60, 60, 68, 69, 70, 75	ofvalg 6240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
77	76	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
78	65, 77	eqtr3d 2264	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
79		plusgslid 13185	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
80	79	slotex 13099	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
81	6, 80	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
82	5, 81	eqeltrid 2316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
83	82	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → + ∈ V)
84	19, 60	fexd 5879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
85	84	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
86	25, 60	fexd 5879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
87	86	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻 ∈ V)
88	15, 60	fexd 5879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
89	88	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
90	41, 44, 47, 55, 57, 59, 78, 83, 85, 87, 89	seqcaoprg 10748	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
91	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
92	52	iffalsed 3613	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
93	91, 92	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
94	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
95	52	iffalsed 3613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
96	94, 95	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
97	26	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
98	52	iffalsed 3613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
99	97, 98	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
100	96, 99	oveq12d 6031	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
101	90, 93, 100	3eqtr4d 2272	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
102		zdclt 9547	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
103	8, 7, 102	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
104		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
105	103, 104	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
106	36, 101, 105	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ifcif 3603   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ∘_𝑓 cof 6228  Fincfn 6904   < clt 8204   ≤ cle 8205  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233  seqcseq 10699  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  0_gc0g 13329   Σ_g cgsu 13330  Mndcmnd 13489  CMndccmn 13861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-igsum 13332  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-cmn 13863

This theorem is referenced by:  gsumfzmptfidmadd2  13917