Theorem gsumfzmptfidmadd 14056

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfidmadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfidmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumfzmptfidmadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzmptfidmadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumfzmptfidmadd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsumfzmptfidmadd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
gsumfzmptfidmadd.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmptfidmadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, +   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem gsumfzmptfidmadd

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
2	1	iftrued 3629	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
3		gsummptfidmadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		gsummptfidmadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		gsummptfidmadd.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumfzmptfidmadd.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		gsumfzmptfidmadd.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6	cmnmndd 14025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		gsumfzmptfidmadd.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		gsumfzmptfidmadd.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
13	3, 5	mndcl 13636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 5832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
16	3, 4, 5, 6, 7, 8, 15	gsumfzval 13604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
18		gsumfzmptfidmadd.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶)
19	11, 18	fmptd 5831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
20	3, 4, 5, 6, 7, 8, 19	gsumfzval 13604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
22	1	iftrued 3629	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
23	21, 22	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
24		gsumfzmptfidmadd.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷)
25	12, 24	fmptd 5831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
26	3, 4, 5, 6, 7, 8, 25	gsumfzval 13604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
28	1	iftrued 3629	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (0g‘𝐺))
29	27, 28	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (0g‘𝐺))
30	23, 29	oveq12d 6068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
31	3, 4	mndidcl 13643	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
32	3, 5, 4	mndlid 13648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
33	9, 31, 32	syl2anc2 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
34	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
35	30, 34	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = (0g‘𝐺))
36	2, 17, 35	3eqtr4d 2275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
37	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
38		simprl 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
39		simprr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
40	3, 5	mndcl 13636	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝐵)
42	6	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
43	3, 5	cmncom 14019	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
44	42, 38, 39, 43	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 + 𝑞) = (𝑞 + 𝑝))
45	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
46	3, 5	mndass 13637	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
47	45, 46	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = (𝑝 + (𝑞 + 𝑟)))
48	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
49	8	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
50	48	zred 9700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
51	49	zred 9700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
52		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
53	50, 51, 52	nltled 8394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
54		eluz2 9859	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
55	48, 49, 53, 54	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
56	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
57	56	ffvelcdmda 5812	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
58	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
59	58	ffvelcdmda 5812	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
60	7, 8	fzfigd 10793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
61	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐶))
62	24	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐷))
63	60, 11, 12, 61, 62	offval2 6282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) = (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))
64	63	fveq1d 5672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
65	64	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘))
66	19	ffnd 5509	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
67	25	ffnd 5509	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑀...𝑁))
68		inidm 3430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ (𝑀...𝑁)) = (𝑀...𝑁)
69		eqidd 2233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
70		eqidd 2233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑘))
71	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐺 ∈ Mnd)
72	19	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
73	25	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
74	3, 5	mndcl 13636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) ∈ 𝐵)
75	71, 72, 73, 74	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)) ∈ 𝐵)
76	66, 67, 60, 60, 68, 69, 70, 75	ofvalg 6276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
77	76	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
78	65, 77	eqtr3d 2267	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐻‘𝑘)))
79		plusgslid 13325	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
80	79	slotex 13239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
81	6, 80	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
82	5, 81	eqeltrid 2319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
83	82	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → + ∈ V)
84	19, 60	fexd 5916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
85	84	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
86	25, 60	fexd 5916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
87	86	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐻 ∈ V)
88	15, 60	fexd 5916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
89	88	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)) ∈ V)
90	41, 44, 47, 55, 57, 59, 78, 83, 85, 87, 89	seqcaoprg 10858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
91	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)))
92	52	iffalsed 3632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁)) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
93	91, 92	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷)))‘𝑁))
94	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
95	52	iffalsed 3632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
96	94, 95	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
97	26	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
98	52	iffalsed 3632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐺), (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
99	97, 98	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐻) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁))
100	96, 99	oveq12d 6068	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁)))
101	90, 93, 100	3eqtr4d 2275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
102		zdclt 9655	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
103	8, 7, 102	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
104		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
105	103, 104	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
106	36, 101, 105	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ifcif 3620   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ∘_𝑓 cof 6264  Fincfn 6975   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  seqcseq 10809  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  0_gc0g 13469   Σ_g cgsu 13470  Mndcmnd 13629  CMndccmn 14001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-of 6266  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-igsum 13472  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-cmn 14003

This theorem is referenced by:  gsumfzmptfidmadd2  14057