Theorem mulid1d 7937

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid1 7917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  1c1 7775   · cmul 7779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-mulcl 7872  ax-mulcom 7875  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-1rid 7881  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856

This theorem is referenced by:  muladd11  8052  ltmul1  8511  mulap0  8572  divrecap  8605  diveqap1  8622  conjmulap  8646  apmul1  8705  qapne  9598  divelunit  9959  modqid  10305  q2submod  10341  addmodlteq  10354  expadd  10518  leexp2r  10530  nnlesq  10579  sqoddm1div8  10629  nn0opthlem1d  10654  faclbnd  10675  faclbnd2  10676  faclbnd6  10678  facavg  10680  bcn0  10689  bcn1  10692  reccn2ap  11276  hash2iun1dif1  11443  binom11  11449  trireciplem  11463  geosergap  11469  cvgratnnlemnexp  11487  cvgratnnlemmn  11488  fprodsplitdc  11559  efzval  11646  tanaddaplem  11701  tanaddap  11702  cos01gt0  11725  absef  11732  1dvds  11767  bezoutlema  11954  bezoutlemb  11955  gcdmultiple  11975  sqgcd  11984  lcm1  12035  coprmdvds  12046  qredeu  12051  phiprmpw  12176  coprimeprodsq  12211  pc2dvds  12283  sumhashdc  12299  fldivp1  12300  pcfaclem  12301  prmpwdvds  12307  dveflem  13481  efper  13522  tangtx  13553  logdivlti  13596  relogbexpap  13670  rplogbcxp  13675  lgsdir2  13728  2sqlem6  13750  2sqlem8  13753  trilpolemclim  14068  trilpolemisumle  14070  trilpolemeq1  14072  trilpolemlt1  14073  redcwlpolemeq1  14086  nconstwlpolemgt0  14095