Theorem mulid1d 7930

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid1 7910	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5851  ℂcc 7765  1c1 7768   · cmul 7772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-mulcl 7865  ax-mulcom 7868  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-1rid 7874  ax-cnre 7878

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5854

This theorem is referenced by:  muladd11  8045  ltmul1  8504  mulap0  8565  divrecap  8598  diveqap1  8615  conjmulap  8639  apmul1  8698  qapne  9591  divelunit  9952  modqid  10298  q2submod  10334  addmodlteq  10347  expadd  10511  leexp2r  10523  nnlesq  10572  sqoddm1div8  10622  nn0opthlem1d  10647  faclbnd  10668  faclbnd2  10669  faclbnd6  10671  facavg  10673  bcn0  10682  bcn1  10685  reccn2ap  11269  hash2iun1dif1  11436  binom11  11442  trireciplem  11456  geosergap  11462  cvgratnnlemnexp  11480  cvgratnnlemmn  11481  fprodsplitdc  11552  efzval  11639  tanaddaplem  11694  tanaddap  11695  cos01gt0  11718  absef  11725  1dvds  11760  bezoutlema  11947  bezoutlemb  11948  gcdmultiple  11968  sqgcd  11977  lcm1  12028  coprmdvds  12039  qredeu  12044  phiprmpw  12169  coprimeprodsq  12204  pc2dvds  12276  sumhashdc  12292  fldivp1  12293  pcfaclem  12294  prmpwdvds  12300  dveflem  13446  efper  13487  tangtx  13518  logdivlti  13561  relogbexpap  13635  rplogbcxp  13640  lgsdir2  13693  2sqlem6  13715  2sqlem8  13718  trilpolemclim  14033  trilpolemisumle  14035  trilpolemeq1  14037  trilpolemlt1  14038  redcwlpolemeq1  14051  nconstwlpolemgt0  14060