Theorem mulid1d 7912

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid1 7892	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5841  ℂcc 7747  1c1 7750   · cmul 7754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-mulcl 7847  ax-mulcom 7850  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-1rid 7856  ax-cnre 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844

This theorem is referenced by:  muladd11  8027  ltmul1  8486  mulap0  8547  divrecap  8580  diveqap1  8597  conjmulap  8621  apmul1  8680  qapne  9573  divelunit  9934  modqid  10280  q2submod  10316  addmodlteq  10329  expadd  10493  leexp2r  10505  nnlesq  10554  sqoddm1div8  10604  nn0opthlem1d  10629  faclbnd  10650  faclbnd2  10651  faclbnd6  10653  facavg  10655  bcn0  10664  bcn1  10667  reccn2ap  11250  hash2iun1dif1  11417  binom11  11423  trireciplem  11437  geosergap  11443  cvgratnnlemnexp  11461  cvgratnnlemmn  11462  fprodsplitdc  11533  efzval  11620  tanaddaplem  11675  tanaddap  11676  cos01gt0  11699  absef  11706  1dvds  11741  bezoutlema  11928  bezoutlemb  11929  gcdmultiple  11949  sqgcd  11958  lcm1  12009  coprmdvds  12020  qredeu  12025  phiprmpw  12150  coprimeprodsq  12185  pc2dvds  12257  sumhashdc  12273  fldivp1  12274  pcfaclem  12275  prmpwdvds  12281  dveflem  13287  efper  13328  tangtx  13359  logdivlti  13402  relogbexpap  13476  rplogbcxp  13481  lgsdir2  13534  2sqlem6  13556  2sqlem8  13559  trilpolemclim  13875  trilpolemisumle  13877  trilpolemeq1  13879  trilpolemlt1  13880  redcwlpolemeq1  13893  nconstwlpolemgt0  13902