Theorem efexp 11864

Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · 𝐴)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem efexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9348	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		mulcom 8025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
4	3	fveq2d 5565	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = (exp‘(𝑁 · 𝐴)))
5		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
6	5	fveq2d 5565	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
7		oveq2 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑0))
8	6, 7	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 0)) = ((exp‘𝐴)↑0)))
9		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
10	9	fveq2d 5565	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 𝑘)))
11		oveq2 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑𝑘))
12	10, 11	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
13		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
14	13	fveq2d 5565	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))))
15		oveq2 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
16	14, 15	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
17		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · -𝑘))
18	17	fveq2d 5565	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · -𝑘)))
19		oveq2 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘))
20	18, 19	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘)))
21		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
22	21	fveq2d 5565	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 𝑁)))
23		oveq2 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
24	22, 23	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁)))
25		ef0 11854	. . . . 5 ⊢ (exp‘0) = 1
26		mul01 8432	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
27	26	fveq2d 5565	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
28		efcl 11846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
29	28	exp0d 10776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴)↑0) = 1)
30	25, 27, 29	3eqtr4a 2255	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 0)) = ((exp‘𝐴)↑0))
31		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
32	31	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
33		nn0cn 9276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
34		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		adddi 8028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
36	34, 35	mp3an3 1337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
37		mulrid 8040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
39	38	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
40	36, 39	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
41	33, 40	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
42	41	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
43		mulcl 8023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
44	33, 43	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
45		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		efadd 11857	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
47	44, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
48	42, 47	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
49	48	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
50		expp1 10655	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
51	28, 50	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
52	51	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
53	32, 49, 52	3eqtr4d 2239	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
54	53	exp31 364	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
55		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
56		nncn 9015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
57		mulneg2 8439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝑘) = -(𝐴 · 𝑘))
58	56, 57	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · -𝑘) = -(𝐴 · 𝑘))
59	58	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = (exp‘-(𝐴 · 𝑘)))
60	56, 43	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
61		efneg 11861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 · 𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘-(𝐴 · 𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
63	59, 62	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
64		efap0 11859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) # 0)
65		nnnn0 9273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
66		expnegap0 10656	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑-𝑘) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
67	28, 64, 65, 66	syl2an3an 1309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘𝐴)↑-𝑘) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
68	63, 67	eqeq12d 2211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘) ↔ (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘))))
69	55, 68	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘)))
70	69	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘))))
71	8, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 70	zindd 9461	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁)))
72	71	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
73	4, 72	eqtr3d 2231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · 𝐴)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901  -cneg 8215   # cap 8625   / cdiv 8716  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ↑cexp 10647  expce 11824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830

This theorem is referenced by:  efzval  11865  efgt0  11866  tanval3ap  11896  demoivre  11955  ef2kpi  15126  reexplog  15191  relogexp  15192