ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efexp GIF version

Theorem efexp 11690
Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem efexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 9258 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 mulcom 7940 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
31, 2sylan2 286 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
43fveq2d 5520 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
5 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท 0))
65fveq2d 5520 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท 0)))
7 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
86, 7eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0)))
9 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘˜))
109fveq2d 5520 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)))
11 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
1210, 11eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
13 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)))
1413fveq2d 5520 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))))
15 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1614, 15eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
17 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท -๐‘˜))
1817fveq2d 5520 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)))
19 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))
2018, 19eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
21 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘))
2221fveq2d 5520 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)))
23 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
2422, 23eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
25 ef0 11680 . . . . 5 (expโ€˜0) = 1
26 mul01 8346 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
2726fveq2d 5520 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = (expโ€˜0))
28 efcl 11672 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2928exp0d 10648 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
3025, 27, 293eqtr4a 2236 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
31 oveq1 5882 . . . . . . 7 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
3231adantl 277 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
33 nn0cn 9186 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
34 ax-1cn 7904 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
35 adddi 7943 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
3634, 35mp3an3 1326 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
37 mulrid 7954 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3837adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3938oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4036, 39eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4133, 40sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4241fveq2d 5520 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)))
43 mulcl 7938 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4433, 43sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 efadd 11683 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4744, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4842, 47eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4948adantr 276 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
50 expp1 10527 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5128, 50sylan 283 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5251adantr 276 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5332, 49, 523eqtr4d 2220 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
5453exp31 364 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
55 oveq2 5883 . . . . . 6 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
56 nncn 8927 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
57 mulneg2 8353 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5856, 57sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5958fveq2d 5520 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)))
6056, 43sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61 efneg 11687 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6260, 61syl 14 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6359, 62eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
64 efap0 11685 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) # 0)
65 nnnn0 9183 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
66 expnegap0 10528 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (expโ€˜๐ด) # 0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6728, 64, 65, 66syl2an3an 1298 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6863, 67eqeq12d 2192 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) โ†” (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))))
6955, 68imbitrrid 156 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
7069ex 115 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))))
718, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 70zindd 9371 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
7271imp 124 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
734, 72eqtr3d 2212 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816  -cneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ†‘cexp 10519  expce 11650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656
This theorem is referenced by:  efzval  11691  efgt0  11692  tanval3ap  11722  demoivre  11780  ef2kpi  14230  reexplog  14295  relogexp  14296
  Copyright terms: Public domain W3C validator