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Theorem efexp 11388
 Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · 𝐴)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem efexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 9059 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 mulcom 7749 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
31, 2sylan2 284 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
43fveq2d 5425 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = (exp‘(𝑁 · 𝐴)))
5 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
65fveq2d 5425 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
7 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑0))
86, 7eqeq12d 2154 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 0)) = ((exp‘𝐴)↑0)))
9 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
109fveq2d 5425 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 𝑘)))
11 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑𝑘))
1210, 11eqeq12d 2154 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
13 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
1413fveq2d 5425 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))))
15 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1614, 15eqeq12d 2154 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
17 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = -𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · -𝑘))
1817fveq2d 5425 . . . . 5 (𝑗 = -𝑘 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · -𝑘)))
19 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = -𝑘 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘))
2018, 19eqeq12d 2154 . . . 4 (𝑗 = -𝑘 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘)))
21 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
2221fveq2d 5425 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 𝑁)))
23 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
2422, 23eqeq12d 2154 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁)))
25 ef0 11378 . . . . 5 (exp‘0) = 1
26 mul01 8151 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2726fveq2d 5425 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
28 efcl 11370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2928exp0d 10418 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴)↑0) = 1)
3025, 27, 293eqtr4a 2198 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 0)) = ((exp‘𝐴)↑0))
31 oveq1 5781 . . . . . . 7 ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
3231adantl 275 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
33 nn0cn 8987 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 7713 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
35 adddi 7752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
3634, 35mp3an3 1304 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
37 mulid1 7763 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3837adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3938oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4036, 39eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4133, 40sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4241fveq2d 5425 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
43 mulcl 7747 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
4433, 43sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
45 simpl 108 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 efadd 11381 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4744, 45, 46syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4842, 47eqtrd 2172 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4948adantr 274 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
50 expp1 10300 . . . . . . . 8 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5128, 50sylan 281 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5251adantr 274 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5332, 49, 523eqtr4d 2182 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
5453exp31 361 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
55 oveq2 5782 . . . . . 6 ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
56 nncn 8728 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
57 mulneg2 8158 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝑘) = -(𝐴 · 𝑘))
5856, 57sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · -𝑘) = -(𝐴 · 𝑘))
5958fveq2d 5425 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = (exp‘-(𝐴 · 𝑘)))
6056, 43sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
61 efneg 11385 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 · 𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
6260, 61syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘-(𝐴 · 𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
6359, 62eqtrd 2172 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
64 efap0 11383 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) # 0)
65 nnnn0 8984 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
66 expnegap0 10301 . . . . . . . 8 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐴) # 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑-𝑘) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
6728, 64, 65, 66syl2an3an 1276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘𝐴)↑-𝑘) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
6863, 67eqeq12d 2154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘) ↔ (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘))))
6955, 68syl5ibr 155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘)))
7069ex 114 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘))))
718, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 70zindd 9169 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁)))
7271imp 123 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
734, 72eqtr3d 2174 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · 𝐴)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625  -cneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432  ℕcn 8720  ℕ0cn0 8977  ℤcz 9054  ↑cexp 10292  expce 11348 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354 This theorem is referenced by:  efzval  11389  efgt0  11390  tanval3ap  11421  demoivre  11479  ef2kpi  12887
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