Theorem expmul 10500

Description: Product of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
expmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
2	1	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 0)))
3		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0))))
6		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
7	6	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)))
8		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘))))
11		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
17	16	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
18		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))))
21		nn0cn 9124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	mul01d 8291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = (𝐴↑0))
24		exp0 10459	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
25	23, 24	sylan9eqr 2221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = 1)
26		expcl 10473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
27		exp0 10459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑀)↑0) = 1)
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑0) = 1)
29	25, 28	eqtr4d 2201	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0))
30		oveq1 5849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
31		nn0cn 9124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		adddi 7885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
34	32, 33	mp3an3 1316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35		mulid1 7896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
36	35	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
37	36	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
38	34, 37	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
39	21, 31, 38	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
40	39	adantll 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
41	40	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42		simpll 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43		nn0mulcl 9150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	43	adantll 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
46		expadd 10497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
47	42, 44, 45, 46	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
48	41, 47	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
49		expp1 10462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
50	26, 49	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
51	48, 50	eqeq12d 2180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀))))
52	30, 51	syl5ibr 155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1))))
53	52	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
54	53	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
55	5, 10, 15, 20, 29, 54	nn0ind 9305	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
56	55	expdcom 1430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))))
57	56	3imp 1183	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758  ℕ₀cn0 9114  ↑cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  expmulzap  10501  expnass  10560  expmuld  10591