ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expmul GIF version

Theorem expmul 10847
Description: Product of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
expmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6026 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
21oveq2d 6034 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 0)))
3 oveq2 6026 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2246 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0)))
54imbi2d 230 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0))))
6 oveq2 6026 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
76oveq2d 6034 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)))
8 oveq2 6026 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2246 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘)))
109imbi2d 230 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘))))
11 oveq2 6026 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 6034 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 6026 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2246 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 230 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 6026 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
1716oveq2d 6034 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
18 oveq2 6026 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2246 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 230 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))))
21 nn0cn 9412 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
2221mul01d 8572 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 · 0) = 0)
2322oveq2d 6034 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = (𝐴↑0))
24 exp0 10806 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2523, 24sylan9eqr 2286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = 1)
26 expcl 10820 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
27 exp0 10806 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴𝑀)↑0) = 1)
2826, 27syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑0) = 1)
2925, 28eqtr4d 2267 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0))
30 oveq1 6025 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
31 nn0cn 9412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 8125 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
33 adddi 8164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
3432, 33mp3an3 1362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35 mulrid 8176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3736oveq2d 6034 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3834, 37eqtrd 2264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3921, 31, 38syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4039adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4140oveq2d 6034 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 nn0mulcl 9438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
4443adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45 simplr 529 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
46 expadd 10844 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
4742, 44, 45, 46syl3anc 1273 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
4841, 47eqtrd 2264 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
49 expp1 10809 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
5026, 49sylan 283 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
5148, 50eqeq12d 2246 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀))))
5230, 51imbitrrid 156 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1))))
5352expcom 116 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
5453a2d 26 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
555, 10, 15, 20, 29, 54nn0ind 9594 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
5655expdcom 1487 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))))
57563imp 1219 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 1004   = wceq 1397  wcel 2202  (class class class)co 6018  cc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037  0cn0 9402  cexp 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10711  df-exp 10802
This theorem is referenced by:  expmulzap  10848  expnass  10908  expmuld  10939
  Copyright terms: Public domain W3C validator