ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expmul GIF version

Theorem expmul 10564
Description: Product of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
expmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem expmul
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘—) = (๐‘€ ยท 0))
21oveq2d 5890 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)))
3 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0))
42, 3eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0)))
54imbi2d 230 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0))))
6 oveq2 5882 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘—) = (๐‘€ ยท ๐‘˜))
76oveq2d 5890 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)))
8 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜))
97, 8eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜)))
109imbi2d 230 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜))))
11 oveq2 5882 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘—) = (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)))
1211oveq2d 5890 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1412, 13eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
1514imbi2d 230 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
16 oveq2 5882 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘—) = (๐‘€ ยท ๐‘))
1716oveq2d 5890 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
18 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
1917, 18eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
2019imbi2d 230 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))))
21 nn0cn 9185 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2221mul01d 8349 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
2322oveq2d 5890 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = (๐ดโ†‘0))
24 exp0 10523 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2523, 24sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = 1)
26 expcl 10537 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
27 exp0 10523 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0) = 1)
2826, 27syl 14 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0) = 1)
2925, 28eqtr4d 2213 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0))
30 oveq1 5881 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) = (((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
31 nn0cn 9185 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
32 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
33 adddi 7942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + (๐‘€ ยท 1)))
3432, 33mp3an3 1326 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + (๐‘€ ยท 1)))
35 mulrid 7953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€)
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€)
3736oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + (๐‘€ ยท 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€))
3834, 37eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€))
3921, 31, 38syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€))
4039adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€))
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = (๐ดโ†‘((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€)))
42 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43 nn0mulcl 9211 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
4443adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
45 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
46 expadd 10561 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
4742, 44, 45, 46syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
4841, 47eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
49 expp1 10526 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
5026, 49sylan 283 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
5148, 50eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) = (((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘€))))
5230, 51imbitrrid 156 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
5352expcom 116 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
5453a2d 26 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
555, 10, 15, 20, 29, 54nn0ind 9366 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
5655expdcom 1442 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))))
57563imp 1193 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815  โ„•0cn0 9175  โ†‘cexp 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by:  expmulzap  10565  expnass  10625  expmuld  10656
  Copyright terms: Public domain W3C validator