ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expmul GIF version

Theorem expmul 9965
Description: Product of exponents law for positive integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
expmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5642 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
21oveq2d 5650 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 0)))
3 oveq2 5642 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2102 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0)))
54imbi2d 228 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0))))
6 oveq2 5642 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
76oveq2d 5650 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)))
8 oveq2 5642 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2102 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘)))
109imbi2d 228 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘))))
11 oveq2 5642 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 5650 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 5642 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2102 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 228 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5642 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
1716oveq2d 5650 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
18 oveq2 5642 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2102 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 228 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))))
21 nn0cn 8653 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
2221mul01d 7850 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 · 0) = 0)
2322oveq2d 5650 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = (𝐴↑0))
24 exp0 9924 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2523, 24sylan9eqr 2142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = 1)
26 expcl 9938 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
27 exp0 9924 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴𝑀)↑0) = 1)
2826, 27syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑0) = 1)
2925, 28eqtr4d 2123 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0))
30 oveq1 5641 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
31 nn0cn 8653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
33 adddi 7453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
3432, 33mp3an3 1262 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35 mulid1 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3736oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3834, 37eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3921, 31, 38syl2an 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4039adantll 460 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4140oveq2d 5650 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42 simpll 496 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 nn0mulcl 8679 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
4443adantll 460 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45 simplr 497 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
46 expadd 9962 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
4742, 44, 45, 46syl3anc 1174 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
4841, 47eqtrd 2120 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
49 expp1 9927 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
5026, 49sylan 277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
5148, 50eqeq12d 2102 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀))))
5230, 51syl5ibr 154 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1))))
5352expcom 114 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
5453a2d 26 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
555, 10, 15, 20, 29, 54nn0ind 8830 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
5655expdcom 1376 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))))
57563imp 1137 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   · cmul 7334  0cn0 8643  cexp 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920
This theorem is referenced by:  expmulzap  9966  expnass  10025  expmuld  10054
  Copyright terms: Public domain W3C validator