ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashiun GIF version

Theorem hashiun 11187
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
hashiun (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumiun.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3 fsumiun.3 . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4 1cnd 7746 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4fsumiun 11186 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 1)
62ralrimiva 2480 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
7 iunfidisj 6800 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
81, 6, 3, 7syl3anc 1199 . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
9 ax-1cn 7677 . . . 4 1 ∈ ℂ
10 fsumconst 11163 . . . 4 (( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1))
118, 9, 10sylancl 407 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1))
12 hashcl 10467 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℕ0)
13 nn0cn 8938 . . . 4 ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℂ)
14 mulid1 7727 . . . 4 ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
158, 12, 13, 144syl 18 . . 3 (𝜑 → ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
1611, 15eqtrd 2148 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
17 fsumconst 11163 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
182, 9, 17sylancl 407 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
19 hashcl 10467 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
20 nn0cn 8938 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
21 mulid1 7727 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
222, 19, 20, 214syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
2318, 22eqtrd 2148 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 1 = (♯‘𝐵))
2423sumeq2dv 11077 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 1 = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
255, 16, 243eqtr3d 2156 1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391   ciun 3781  Disj wdisj 3874  cfv 5091  (class class class)co 5740  Fincfn 6600  cc 7582  1c1 7585   · cmul 7589  0cn0 8928  chash 10461  Σcsu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-disj 3875  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  hash2iun  11188  hashrabrex  11190  hashuni  11191
  Copyright terms: Public domain W3C validator