ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashiun GIF version

Theorem hashiun 11499
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fsumiun.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
fsumiun.3 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Assertion
Ref Expression
hashiun (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 fsumiun.2 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
3 fsumiun.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)
4 1cnd 7986 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4fsumiun 11498 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1)
62ralrimiva 2560 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
7 iunfidisj 6958 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin โˆง Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
81, 6, 3, 7syl3anc 1248 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
9 ax-1cn 7917 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
10 fsumconst 11475 . . . 4 ((โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1))
118, 9, 10sylancl 413 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1))
12 hashcl 10774 . . . 4 (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•0)
13 nn0cn 9199 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„‚)
14 mulrid 7967 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
158, 12, 13, 144syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
1611, 15eqtrd 2220 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
17 fsumconst 11475 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
182, 9, 17sylancl 413 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
19 hashcl 10774 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
20 nn0cn 9199 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
21 mulrid 7967 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
222, 19, 20, 214syl 18 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
2318, 22eqtrd 2220 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = (โ™ฏโ€˜๐ต))
2423sumeq2dv 11389 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
255, 16, 243eqtr3d 2228 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆ€wral 2465  โˆช ciun 3898  Disj wdisj 3992  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Fincfn 6753  โ„‚cc 7822  1c1 7825   ยท cmul 7829  โ„•0cn0 9189  โ™ฏchash 10768  ฮฃcsu 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375
This theorem is referenced by:  hash2iun  11500  hashrabrex  11502  hashuni  11503  phisum  12253
  Copyright terms: Public domain W3C validator