Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashiun GIF version

Theorem hashiun 11352
 Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
hashiun (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumiun.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3 fsumiun.3 . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4 1cnd 7873 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4fsumiun 11351 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 1)
62ralrimiva 2527 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
7 iunfidisj 6879 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
81, 6, 3, 7syl3anc 1217 . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
9 ax-1cn 7804 . . . 4 1 ∈ ℂ
10 fsumconst 11328 . . . 4 (( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1))
118, 9, 10sylancl 410 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1))
12 hashcl 10632 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℕ0)
13 nn0cn 9079 . . . 4 ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℂ)
14 mulid1 7854 . . . 4 ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
158, 12, 13, 144syl 18 . . 3 (𝜑 → ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
1611, 15eqtrd 2187 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
17 fsumconst 11328 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
182, 9, 17sylancl 410 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
19 hashcl 10632 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
20 nn0cn 9079 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
21 mulid1 7854 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
222, 19, 20, 214syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
2318, 22eqtrd 2187 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 1 = (♯‘𝐵))
2423sumeq2dv 11242 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 1 = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
255, 16, 243eqtr3d 2195 1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432  ∪ ciun 3845  Disj wdisj 3938  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  Fincfn 6674  ℂcc 7709  1c1 7712   · cmul 7716  ℕ0cn0 9069  ♯chash 10626  Σcsu 11227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-disj 3939  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228 This theorem is referenced by:  hash2iun  11353  hashrabrex  11355  hashuni  11356
 Copyright terms: Public domain W3C validator