ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashiun GIF version

Theorem hashiun 11504
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fsumiun.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
fsumiun.3 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Assertion
Ref Expression
hashiun (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 fsumiun.2 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
3 fsumiun.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)
4 1cnd 7991 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4fsumiun 11503 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1)
62ralrimiva 2563 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
7 iunfidisj 6963 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin โˆง Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
81, 6, 3, 7syl3anc 1249 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
9 ax-1cn 7922 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
10 fsumconst 11480 . . . 4 ((โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1))
118, 9, 10sylancl 413 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1))
12 hashcl 10779 . . . 4 (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•0)
13 nn0cn 9204 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„‚)
14 mulrid 7972 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
158, 12, 13, 144syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
1611, 15eqtrd 2222 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
17 fsumconst 11480 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
182, 9, 17sylancl 413 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
19 hashcl 10779 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
20 nn0cn 9204 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
21 mulrid 7972 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
222, 19, 20, 214syl 18 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
2318, 22eqtrd 2222 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = (โ™ฏโ€˜๐ต))
2423sumeq2dv 11394 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
255, 16, 243eqtr3d 2230 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โˆ€wral 2468  โˆช ciun 3901  Disj wdisj 3995  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  Fincfn 6758  โ„‚cc 7827  1c1 7830   ยท cmul 7834  โ„•0cn0 9194  โ™ฏchash 10773  ฮฃcsu 11379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-ihash 10774  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305  df-sumdc 11380
This theorem is referenced by:  hash2iun  11505  hashrabrex  11507  hashuni  11508  phisum  12258
  Copyright terms: Public domain W3C validator