ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashiun GIF version

Theorem hashiun 10872
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
hashiun (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumiun.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3 fsumiun.3 . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4 1cnd 7504 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4fsumiun 10871 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 1)
62ralrimiva 2446 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
7 iunfidisj 6655 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
81, 6, 3, 7syl3anc 1174 . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
9 ax-1cn 7438 . . . 4 1 ∈ ℂ
10 fsumconst 10848 . . . 4 (( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1))
118, 9, 10sylancl 404 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1))
12 hashcl 10189 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℕ0)
13 nn0cn 8683 . . . 4 ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℂ)
14 mulid1 7485 . . . 4 ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
158, 12, 13, 144syl 18 . . 3 (𝜑 → ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
1611, 15eqtrd 2120 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
17 fsumconst 10848 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
182, 9, 17sylancl 404 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
19 hashcl 10189 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
20 nn0cn 8683 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
21 mulid1 7485 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
222, 19, 20, 214syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
2318, 22eqtrd 2120 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 1 = (♯‘𝐵))
2423sumeq2dv 10757 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 1 = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
255, 16, 243eqtr3d 2128 1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359   ciun 3730  Disj wdisj 3822  cfv 5015  (class class class)co 5652  Fincfn 6457  cc 7348  1c1 7351   · cmul 7355  0cn0 8673  chash 10183  Σcsu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-disj 3823  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by:  hash2iun  10873  hashrabrex  10875  hashuni  10876
  Copyright terms: Public domain W3C validator