![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > hashiun | GIF version |
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
fsumiun.1 | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fsumiun.2 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) |
fsumiun.3 | โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
hashiun | โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (โฏโ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fsumiun.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
2 | fsumiun.2 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) | |
3 | fsumiun.3 | . . 3 โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) | |
4 | 1cnd 7991 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ 1 โ โ) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | fsumiun 11503 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต1 = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต 1) |
6 | 2 | ralrimiva 2563 | . . . . 5 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ด ๐ต โ Fin) |
7 | iunfidisj 6963 | . . . . 5 โข ((๐ด โ Fin โง โ๐ฅ โ ๐ด ๐ต โ Fin โง Disj ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) โ โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต โ Fin) | |
8 | 1, 6, 3, 7 | syl3anc 1249 | . . . 4 โข (๐ โ โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต โ Fin) |
9 | ax-1cn 7922 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
10 | fsumconst 11480 | . . . 4 โข ((โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต โ Fin โง 1 โ โ) โ ฮฃ๐ โ โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต1 = ((โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) ยท 1)) | |
11 | 8, 9, 10 | sylancl 413 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต1 = ((โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) ยท 1)) |
12 | hashcl 10779 | . . . 4 โข (โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต โ Fin โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) โ โ0) | |
13 | nn0cn 9204 | . . . 4 โข ((โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) โ โ0 โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) โ โ) | |
14 | mulrid 7972 | . . . 4 โข ((โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) โ โ โ ((โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) ยท 1) = (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต)) | |
15 | 8, 12, 13, 14 | 4syl 18 | . . 3 โข (๐ โ ((โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) ยท 1) = (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต)) |
16 | 11, 15 | eqtrd 2222 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต1 = (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต)) |
17 | fsumconst 11480 | . . . . 5 โข ((๐ต โ Fin โง 1 โ โ) โ ฮฃ๐ โ ๐ต 1 = ((โฏโ๐ต) ยท 1)) | |
18 | 2, 9, 17 | sylancl 413 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ฮฃ๐ โ ๐ต 1 = ((โฏโ๐ต) ยท 1)) |
19 | hashcl 10779 | . . . . 5 โข (๐ต โ Fin โ (โฏโ๐ต) โ โ0) | |
20 | nn0cn 9204 | . . . . 5 โข ((โฏโ๐ต) โ โ0 โ (โฏโ๐ต) โ โ) | |
21 | mulrid 7972 | . . . . 5 โข ((โฏโ๐ต) โ โ โ ((โฏโ๐ต) ยท 1) = (โฏโ๐ต)) | |
22 | 2, 19, 20, 21 | 4syl 18 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ((โฏโ๐ต) ยท 1) = (โฏโ๐ต)) |
23 | 18, 22 | eqtrd 2222 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ฮฃ๐ โ ๐ต 1 = (โฏโ๐ต)) |
24 | 23 | sumeq2dv 11394 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต 1 = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (โฏโ๐ต)) |
25 | 5, 16, 24 | 3eqtr3d 2230 | 1 โข (๐ โ (โฏโโช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐ฅ โ ๐ด (โฏโ๐ต)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1364 โ wcel 2160 โwral 2468 โช ciun 3901 Disj wdisj 3995 โcfv 5231 (class class class)co 5891 Fincfn 6758 โcc 7827 1c1 7830 ยท cmul 7834 โ0cn0 9194 โฏchash 10773 ฮฃcsu 11379 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7920 ax-resscn 7921 ax-1cn 7922 ax-1re 7923 ax-icn 7924 ax-addcl 7925 ax-addrcl 7926 ax-mulcl 7927 ax-mulrcl 7928 ax-addcom 7929 ax-mulcom 7930 ax-addass 7931 ax-mulass 7932 ax-distr 7933 ax-i2m1 7934 ax-0lt1 7935 ax-1rid 7936 ax-0id 7937 ax-rnegex 7938 ax-precex 7939 ax-cnre 7940 ax-pre-ltirr 7941 ax-pre-ltwlin 7942 ax-pre-lttrn 7943 ax-pre-apti 7944 ax-pre-ltadd 7945 ax-pre-mulgt0 7946 ax-pre-mulext 7947 ax-arch 7948 ax-caucvg 7949 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-disj 3996 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-isom 5240 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-irdg 6389 df-frec 6410 df-1o 6435 df-oadd 6439 df-er 6553 df-en 6759 df-dom 6760 df-fin 6761 df-pnf 8012 df-mnf 8013 df-xr 8014 df-ltxr 8015 df-le 8016 df-sub 8148 df-neg 8149 df-reap 8550 df-ap 8557 df-div 8648 df-inn 8938 df-2 8996 df-3 8997 df-4 8998 df-n0 9195 df-z 9272 df-uz 9547 df-q 9638 df-rp 9672 df-fz 10027 df-fzo 10161 df-seqfrec 10464 df-exp 10538 df-ihash 10774 df-cj 10869 df-re 10870 df-im 10871 df-rsqrt 11025 df-abs 11026 df-clim 11305 df-sumdc 11380 |
This theorem is referenced by: hash2iun 11505 hashrabrex 11507 hashuni 11508 phisum 12258 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |