Theorem muleqadd 8841

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
muleqadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8118	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulsub 8573	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
3	1, 2	mpanr2 438	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4	1, 3	mpanl2 435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
5	1	mulridi 8174	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
6	5	oveq2i 6024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
8		mulrid 8169	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9		mulrid 8169	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
10	8, 9	oveqan12d 6032	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
11	7, 10	oveq12d 6031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)))
12		mulcl 8152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13		addcl 8150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14		addsub 8383	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
15	1, 14	mp3an2 1359	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
16	12, 13, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
17	4, 11, 16	3eqtrd 2266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
18	17	eqeq1d 2238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
19	12, 13	subcld 8483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
20		0cn 8164	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
21		addcan2 8353	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
22	20, 1, 21	mp3an23 1363	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
23	19, 22	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
24	1	addlidi 8315	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	24	eqeq2i 2240	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1)
26	23, 25	bitr3di 195	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
27	12, 13	subeq0ad 8493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)))
28	18, 26, 27	3bitr2rd 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030   − cmin 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8345  df-neg 8346

This theorem is referenced by:  conjmulap  8902