Theorem muleqadd 8938

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
muleqadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8216	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulsub 8670	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
3	1, 2	mpanr2 438	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4	1, 3	mpanl2 435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
5	1	mulridi 8272	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
6	5	oveq2i 6060	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
8		mulrid 8267	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9		mulrid 8267	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
10	8, 9	oveqan12d 6068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
11	7, 10	oveq12d 6067	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)))
12		mulcl 8250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13		addcl 8248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14		addsub 8480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
15	1, 14	mp3an2 1362	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
16	12, 13, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
17	4, 11, 16	3eqtrd 2269	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
18	17	eqeq1d 2241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
19	12, 13	subcld 8580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
20		0cn 8262	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
21		addcan2 8450	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
22	20, 1, 21	mp3an23 1366	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
23	19, 22	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
24	1	addlidi 8412	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	24	eqeq2i 2243	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1)
26	23, 25	bitr3di 195	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
27	12, 13	subeq0ad 8590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)))
28	18, 26, 27	3bitr2rd 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   − cmin 8440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8442  df-neg 8443

This theorem is referenced by:  conjmulap  8999