Theorem oveqan12d 6107

Description: Equality deduction for operation value. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
oveq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opreqan12i.2	⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
oveqan12d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝐹𝐶) = (𝐵𝐹𝐷))

Proof of Theorem oveqan12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opreqan12i.2	. 2 ⊢ (𝜓 → 𝐶 = 𝐷)
3		oveq12 6097	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐹𝐶) = (𝐵𝐹𝐷))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴𝐹𝐶) = (𝐵𝐹𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  (class class class)co 6088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091

This theorem is used by:  oveqan12rd  6108  offval  6314  offval3  6371  ecovdi  6925  ecovidi  6926  distrpig  7706  addcmpblnq  7740  addpipqqs  7743  mulpipq  7745  addcomnqg  7754  addcmpblnq0  7816  distrnq0  7832  recexprlem1ssl  8006  recexprlem1ssu  8007  1idsr  8141  addcnsrec  8215  mulcnsrec  8216  mulrid  8329  mulsub  8735  mulsub2  8736  muleqadd  9006  divmuldivap  9050  div2subap  9175  addltmul  9553  xnegdi  10286  fzsubel  10482  fzoval  10571  mulexp  11035  sqdivap  11060  crim  11644  readd  11655  remullem  11657  imadd  11663  cjadd  11670  cjreim  11690  sqrtmul  11822  sqabsadd  11842  sqabssub  11843  absmul  11856  abs2dif  11894  binom  12275  sinadd  12527  cosadd  12528  dvds2ln  12615  absmulgcd  12818  gcddiv  12820  bezoutr1  12834  lcmgcd  12880  nn0gcdsq  13004  crth  13030  pythagtriplem1  13072  pcqmul  13110  4sqlem4a  13198  4sqlem4  13199  idmhm  13834  resmhm  13852  eqgval  14084  idghm  14120  resghm  14121  prdsplusgval  14289  prdsmulrval  14291  isrhm  14573  rhmval  14588  psrmulfval  15196  xmetxp  15750  xmetxpbl  15751  txmetcnp  15761  divcnap  15808  rescncf  15824  relogoprlem  16115  lgsdir2  16374  clwwlknccat  16886