ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rlt0 GIF version

Theorem mul2lt0rlt0 9757
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rlt0 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 7986 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
43adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5 0red 7957 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
62adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
86, 7negelrpd 9686 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9 mul2lt0.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
109adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
114, 5, 8, 10ltdiv1dd 9752 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
121recnd 7984 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1312adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
142recnd 7984 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1514adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 7976 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
176, 7lt0ap0d 8604 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 # 0)
1816, 15, 17divneg2apd 8759 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
1913, 15, 17divcanap4d 8751 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
2019negeqd 8150 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
2118, 20eqtr3d 2212 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
2215negcld 8253 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
2315, 17negap0d 8586 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 # 0)
2422, 23div0apd 8742 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
2511, 21, 243brtr3d 4034 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
261adantr 276 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726lt0neg2d 8471 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
2825, 27mpbird 167 1 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810   · cmul 7815   < clt 7990  -cneg 8127   / cdiv 8627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-rp 9652
This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  9759
  Copyright terms: Public domain W3C validator