ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rlt0 GIF version

Theorem mul2lt0rlt0 9759
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
mul2lt0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
mul2lt0.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rlt0 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 mul2lt0.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2remulcld 7988 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
43adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5 0red 7958 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
62adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 simpr 110 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต < 0)
86, 7negelrpd 9688 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„+)
9 mul2lt0.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
109adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
114, 5, 8, 10ltdiv1dd 9754 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต) < (0 / -๐ต))
121recnd 7986 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
142recnd 7986 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1613, 15mulcld 7978 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
176, 7lt0ap0d 8606 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต # 0)
1816, 15, 17divneg2apd 8761 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต))
1913, 15, 17divcanap4d 8753 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
2019negeqd 8152 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = -๐ด)
2118, 20eqtr3d 2212 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต) = -๐ด)
2215negcld 8255 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
2315, 17negap0d 8588 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ต # 0)
2422, 23div0apd 8744 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (0 / -๐ต) = 0)
2511, 21, 243brtr3d 4035 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ด < 0)
261adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2726lt0neg2d 8473 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐ด < 0))
2825, 27mpbird 167 1 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811   ยท cmul 7816   < clt 7992  -cneg 8129   / cdiv 8629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-rp 9654
This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  9761
  Copyright terms: Public domain W3C validator