ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rlt0 GIF version

Theorem mul2lt0rlt0 9672
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rlt0 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 7910 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
43adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5 0red 7881 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
62adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
86, 7negelrpd 9601 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9 mul2lt0.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
109adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
114, 5, 8, 10ltdiv1dd 9667 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
121recnd 7908 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1312adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
142recnd 7908 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1514adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 7900 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
176, 7lt0ap0d 8528 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 # 0)
1816, 15, 17divneg2apd 8681 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
1913, 15, 17divcanap4d 8673 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
2019negeqd 8074 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
2118, 20eqtr3d 2192 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
2215negcld 8177 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
2315, 17negap0d 8510 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 # 0)
2422, 23div0apd 8664 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
2511, 21, 243brtr3d 3997 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
261adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726lt0neg2d 8395 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
2825, 27mpbird 166 1 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  cc 7732  cr 7733  0cc0 7734   · cmul 7739   < clt 7914  -cneg 8051   / cdiv 8549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-rp 9567
This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  9674
  Copyright terms: Public domain W3C validator