![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mul2lt0rlt0 | GIF version |
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mul2lt0.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
mul2lt0.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
mul2lt0.3 | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) < 0) |
Ref | Expression |
---|---|
mul2lt0rlt0 | โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ 0 < ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mul2lt0.1 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | mul2lt0.2 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | 1, 2 | remulcld 7988 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
4 | 3 | adantr 276 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
5 | 0red 7958 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ 0 โ โ) | |
6 | 2 | adantr 276 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ต โ โ) |
7 | simpr 110 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ต < 0) | |
8 | 6, 7 | negelrpd 9688 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -๐ต โ โ+) |
9 | mul2lt0.3 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) < 0) | |
10 | 9 | adantr 276 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (๐ด ยท ๐ต) < 0) |
11 | 4, 5, 8, 10 | ltdiv1dd 9754 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต) < (0 / -๐ต)) |
12 | 1 | recnd 7986 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
13 | 12 | adantr 276 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ด โ โ) |
14 | 2 | recnd 7986 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
15 | 14 | adantr 276 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ต โ โ) |
16 | 13, 15 | mulcld 7978 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
17 | 6, 7 | lt0ap0d 8606 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ต # 0) |
18 | 16, 15, 17 | divneg2apd 8761 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต)) |
19 | 13, 15, 17 | divcanap4d 8753 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด) |
20 | 19 | negeqd 8152 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = -๐ด) |
21 | 18, 20 | eqtr3d 2212 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต) = -๐ด) |
22 | 15 | negcld 8255 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -๐ต โ โ) |
23 | 15, 17 | negap0d 8588 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -๐ต # 0) |
24 | 22, 23 | div0apd 8744 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (0 / -๐ต) = 0) |
25 | 11, 21, 24 | 3brtr3d 4035 | . 2 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -๐ด < 0) |
26 | 1 | adantr 276 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ด โ โ) |
27 | 26 | lt0neg2d 8473 | . 2 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (0 < ๐ด โ -๐ด < 0)) |
28 | 25, 27 | mpbird 167 | 1 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ 0 < ๐ด) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wcel 2148 class class class wbr 4004 (class class class)co 5875 โcc 7809 โcr 7810 0cc0 7811 ยท cmul 7816 < clt 7992 -cneg 8129 / cdiv 8629 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4122 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-br 4005 df-opab 4066 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-rp 9654 |
This theorem is referenced by: mul2lt0llt0 9761 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |