Theorem mul2lt0rlt0 9963

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rlt0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 8185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		0red 8155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
6	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
8	6, 7	negelrpd 9892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9		mul2lt0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
11	4, 5, 8, 10	ltdiv1dd 9958	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
12	1	recnd 8183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2	recnd 8183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 8175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17	6, 7	lt0ap0d 8804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 # 0)
18	16, 15, 17	divneg2apd 8959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
19	13, 15, 17	divcanap4d 8951	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
20	19	negeqd 8349	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
21	18, 20	eqtr3d 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
22	15	negcld 8452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
23	15, 17	negap0d 8786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 # 0)
24	22, 23	div0apd 8942	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
25	11, 21, 24	3brtr3d 4114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
26	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	lt0neg2d 8671	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
28	25, 27	mpbird 167	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  ℝcr 8006  0cc0 8007   · cmul 8012   < clt 8189  -cneg 8326   / cdiv 8827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-rp 9858

This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  9965