ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resubcl GIF version

Theorem resubcl 7746
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 7475 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 7475 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 7730 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
5 renegcl 7743 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6 readdcl 7468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 280 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
84, 7eqeltrrd 2165 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5652  cc 7348  cr 7349   + caddc 7353  cmin 7653  -cneg 7654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7655  df-neg 7656
This theorem is referenced by:  peano2rem  7749  resubcld  7859  posdif  7933  lt2sub  7938  le2sub  7939  cju  8421  elz2  8818  difrp  9170  iooshf  9370  iccshftl  9413  lincmb01cmp  9420  uzsubsubfz  9461  difelfzle  9545  fzonmapblen  9598  eluzgtdifelfzo  9608  subfzo0  9653  modfzo0difsn  9802  expubnd  10012  absdiflt  10525  absdifle  10526  elicc4abs  10527  abssubge0  10535  abs2difabs  10541  maxabsle  10637  resin4p  11009  recos4p  11010  cos01bnd  11049  cos01gt0  11053
  Copyright terms: Public domain W3C validator