Theorem resubcl 8283

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 8005	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 8267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 8280	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 7998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2271	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871   + caddc 7875   − cmin 8190  -cneg 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by:  peano2rem  8286  resubcld  8400  posdif  8474  lt2sub  8479  le2sub  8480  cju  8980  elz2  9388  difrp  9758  iooshf  10018  iccshftl  10062  lincmb01cmp  10069  uzsubsubfz  10113  difelfzle  10200  fzonmapblen  10254  eluzgtdifelfzo  10264  subfzo0  10309  modfzo0difsn  10466  expubnd  10667  absdiflt  11236  absdifle  11237  elicc4abs  11238  abssubge0  11246  abs2difabs  11252  maxabsle  11348  resin4p  11861  recos4p  11862  cos01bnd  11901  cos01gt0  11906  pythagtriplem12  12413  pythagtriplem14  12415  pythagtriplem16  12417  fldivp1  12486  bl2ioo  14710  ioo2bl  14711  ioo2blex  14712  blssioo  14713  dich0  14806  sincosq1sgn  14961  sincosq2sgn  14962  sincosq3sgn  14963  sincosq4sgn  14964  sinq12gt0  14965  cosq14gt0  14967  tangtx  14973  relogdiv  15005  logdivlti  15016  gausslemma2dlem1a  15174  redc0  15547  reap0  15548