Theorem resubcl 8239

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 7962	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 8223	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 8236	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 7955	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5891  ℂcc 7827  ℝcr 7828   + caddc 7832   − cmin 8146  -cneg 8147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-sub 8148  df-neg 8149

This theorem is referenced by:  peano2rem  8242  resubcld  8356  posdif  8430  lt2sub  8435  le2sub  8436  cju  8936  elz2  9342  difrp  9710  iooshf  9970  iccshftl  10014  lincmb01cmp  10021  uzsubsubfz  10065  difelfzle  10152  fzonmapblen  10205  eluzgtdifelfzo  10215  subfzo0  10260  modfzo0difsn  10413  expubnd  10595  absdiflt  11119  absdifle  11120  elicc4abs  11121  abssubge0  11129  abs2difabs  11135  maxabsle  11231  resin4p  11744  recos4p  11745  cos01bnd  11784  cos01gt0  11788  pythagtriplem12  12293  pythagtriplem14  12295  pythagtriplem16  12297  fldivp1  12364  bl2ioo  14426  ioo2bl  14427  ioo2blex  14428  blssioo  14429  sincosq1sgn  14631  sincosq2sgn  14632  sincosq3sgn  14633  sincosq4sgn  14634  sinq12gt0  14635  cosq14gt0  14637  tangtx  14643  relogdiv  14675  logdivlti  14686  redc0  15190  reap0  15191