ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  renegcl GIF version

Theorem renegcl 7646
Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
renegcl (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-rnegex 7357 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
2 recn 7378 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3 df-neg 7559 . . . . . . 7 -𝐴 = (0 − 𝐴)
43eqeq1i 2090 . . . . . 6 (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
5 recn 7378 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6 0cn 7383 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
7 subadd 7588 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
86, 7mp3an1 1256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
95, 8sylan 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
104, 9syl5bb 190 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
112, 10sylan2 280 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12 eleq1a 2154 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
1312adantl 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
1411, 13sylbird 168 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
1514rexlimdva 2483 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
161, 15mpd 13 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354  (class class class)co 5591  cc 7251  cr 7252  0cc0 7253   + caddc 7256  cmin 7556  -cneg 7557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-setind 4316  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-sub 7558  df-neg 7559
This theorem is referenced by:  renegcli  7647  resubcl  7649  negreb  7650  renegcld  7761  negf1o  7763  ltnegcon1  7844  ltnegcon2  7845  lenegcon1  7847  lenegcon2  7848  mullt0  7861  recexre  7955  elnnz  8656  btwnz  8761  supinfneg  8978  infsupneg  8979  supminfex  8980  ublbneg  8993  negm  8995  rpnegap  9061  xnegcl  9189  xnegneg  9190  xltnegi  9192  iooneg  9300  iccneg  9301  icoshftf1o  9303  crim  10119  absnid  10333  absdiflt  10352  absdifle  10353  dfabsmax  10477  max0addsup  10479  negfi  10484  minmax  10486  min1inf  10487  min2inf  10488  infssuzex  10725
  Copyright terms: Public domain W3C validator