Theorem renegcl 8306

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8007	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
2		recn 8031	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3		df-neg 8219	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
4	3	eqeq1i 2204	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
5		recn 8031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0cn 8037	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		subadd 8248	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
8	6, 7	mp3an1 1335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2268	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
15	14	rexlimdva 2614	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
16	1, 15	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898   + caddc 7901   − cmin 8216  -cneg 8217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218  df-neg 8219

This theorem is referenced by:  renegcli  8307  resubcl  8309  negreb  8310  renegcld  8425  negf1o  8427  ltnegcon1  8509  ltnegcon2  8510  lenegcon1  8512  lenegcon2  8513  mullt0  8526  recexre  8624  elnnz  9355  btwnz  9464  supinfneg  9688  infsupneg  9689  supminfex  9690  ublbneg  9706  negm  9708  rpnegap  9780  negelrp  9781  xnegcl  9926  xnegneg  9927  xltnegi  9929  rexsub  9947  xnegid  9953  xnegdi  9962  xpncan  9965  xnpcan  9966  xposdif  9976  iooneg  10082  iccneg  10083  icoshftf1o  10085  infssuzex  10342  crim  11042  absnid  11257  absdiflt  11276  absdifle  11277  dfabsmax  11401  max0addsup  11403  negfi  11412  minmax  11414  mincl  11415  min1inf  11416  min2inf  11417  minabs  11420  minclpr  11421  mingeb  11426  xrminrecl  11457  xrminrpcl  11458