Theorem renegcl 8577

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
2		recn 8302	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3		df-neg 8490	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
4	3	eqeq1i 2246	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
5		recn 8302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0cn 8308	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		subadd 8519	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
8	6, 7	mp3an1 1365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2310	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
15	14	rexlimdva 2668	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
16	1, 15	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169   + caddc 8172   − cmin 8487  -cneg 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490

This theorem is referenced by:  renegcli  8578  resubcl  8580  negreb  8581  renegcld  8697  negf1o  8699  ltnegcon1  8781  ltnegcon2  8782  lenegcon1  8784  lenegcon2  8785  mullt0  8798  recexre  8896  elnnz  9633  btwnz  9744  supinfneg  9974  infsupneg  9975  supminfex  9976  ublbneg  9992  negm  9994  rpnegap  10066  negelrp  10067  xnegcl  10213  xnegneg  10214  xltnegi  10216  rexsub  10234  xnegid  10240  xnegdi  10249  xpncan  10252  xnpcan  10253  xposdif  10263  iooneg  10369  iccneg  10370  icoshftf1o  10372  infssuzex  10644  crim  11601  absnid  11817  absdiflt  11836  absdifle  11837  dfabsmax  11961  max0addsup  11963  negfi  11972  minmax  11974  mincl  11975  min1inf  11976  min2inf  11977  minabs  11980  minclpr  11981  mingeb  11986  xrminrecl  12017  xrminrpcl  12018