Theorem renegcl 8280

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 7981	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
2		recn 8005	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3		df-neg 8193	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
4	3	eqeq1i 2201	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
5		recn 8005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0cn 8011	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		subadd 8222	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
8	6, 7	mp3an1 1335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
15	14	rexlimdva 2611	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
16	1, 15	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   + caddc 7875   − cmin 8190  -cneg 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by:  renegcli  8281  resubcl  8283  negreb  8284  renegcld  8399  negf1o  8401  ltnegcon1  8482  ltnegcon2  8483  lenegcon1  8485  lenegcon2  8486  mullt0  8499  recexre  8597  elnnz  9327  btwnz  9436  supinfneg  9660  infsupneg  9661  supminfex  9662  ublbneg  9678  negm  9680  rpnegap  9752  negelrp  9753  xnegcl  9898  xnegneg  9899  xltnegi  9901  rexsub  9919  xnegid  9925  xnegdi  9934  xpncan  9937  xnpcan  9938  xposdif  9948  iooneg  10054  iccneg  10055  icoshftf1o  10057  crim  11002  absnid  11217  absdiflt  11236  absdifle  11237  dfabsmax  11361  max0addsup  11363  negfi  11371  minmax  11373  mincl  11374  min1inf  11375  min2inf  11376  minabs  11379  minclpr  11380  mingeb  11385  xrminrecl  11416  xrminrpcl  11417  infssuzex  12086