Theorem renegcl 8403

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rnegex 8104	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
2		recn 8128	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3		df-neg 8316	. . . . . . 7 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
4	3	eqeq1i 2237	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
5		recn 8128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0cn 8134	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		subadd 8345	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
8	6, 7	mp3an1 1358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
9	5, 8	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
10	4, 9	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12		eleq1a 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
14	11, 13	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
15	14	rexlimdva 2648	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
16	1, 15	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995   + caddc 7998   − cmin 8313  -cneg 8314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-neg 8316

This theorem is referenced by:  renegcli  8404  resubcl  8406  negreb  8407  renegcld  8522  negf1o  8524  ltnegcon1  8606  ltnegcon2  8607  lenegcon1  8609  lenegcon2  8610  mullt0  8623  recexre  8721  elnnz  9452  btwnz  9562  supinfneg  9786  infsupneg  9787  supminfex  9788  ublbneg  9804  negm  9806  rpnegap  9878  negelrp  9879  xnegcl  10024  xnegneg  10025  xltnegi  10027  rexsub  10045  xnegid  10051  xnegdi  10060  xpncan  10063  xnpcan  10064  xposdif  10074  iooneg  10180  iccneg  10181  icoshftf1o  10183  infssuzex  10448  crim  11364  absnid  11579  absdiflt  11598  absdifle  11599  dfabsmax  11723  max0addsup  11725  negfi  11734  minmax  11736  mincl  11737  min1inf  11738  min2inf  11739  minabs  11742  minclpr  11743  mingeb  11748  xrminrecl  11779  xrminrpcl  11780