ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfiv01gt1 GIF version

Theorem hashfiv01gt1 10755
Description: The size of a finite set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashfiv01gt1 (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Proof of Theorem hashfiv01gt1
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . 3 ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → (♯‘𝑀) < 0)
2 hashcl 10754 . . . . 5 (𝑀 ∈ Fin → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
3 nn0nlt0 9198 . . . . 5 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝑀 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
54adantr 276 . . 3 ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
61, 5pm2.21dd 620 . 2 ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
7 orc 712 . . . 4 (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) → (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
8 fz01or 10106 . . . 4 ((♯‘𝑀) ∈ (0...1) ↔ ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1))
9 df-3or 979 . . . 4 (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
107, 8, 93imtr4i 201 . . 3 ((♯‘𝑀) ∈ (0...1) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
1110adantl 277 . 2 ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) ∈ (0...1)) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
12 3mix3 1168 . . 3 (1 < (♯‘𝑀) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
1312adantl 277 . 2 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 1 < (♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
142nn0zd 9369 . . 3 (𝑀 ∈ Fin → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
15 0zd 9261 . . 3 (𝑀 ∈ Fin → 0 ∈ ℤ)
16 1zzd 9276 . . 3 (𝑀 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
17 fztri3or 10034 . . 3 (((♯‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑀) < 0 ∨ (♯‘𝑀) ∈ (0...1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1238 . 2 (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) < 0 ∨ (♯‘𝑀) ∈ (0...1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
196, 11, 13, 18mpjao3dan 1307 1 (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4002  cfv 5215  (class class class)co 5872  Fincfn 6737  0cc0 7808  1c1 7809   < clt 7988  0cn0 9172  cz 9249  ...cfz 10004  chash 10748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-recs 6303  df-frec 6389  df-er 6532  df-en 6738  df-dom 6739  df-fin 6740  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005  df-ihash 10749
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator