Theorem hashfiv01gt1 11202

Description: The size of a finite set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashfiv01gt1	⊢ (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Proof of Theorem hashfiv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → (♯‘𝑀) < 0)
2		hashcl 11201	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
3		nn0nlt0 9571	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
6	1, 5	pm2.21dd 629	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
7		orc 724	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) → (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
8		fz01or 10499	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (0...1) ↔ ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1))
9		df-3or 1010	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
10	7, 8, 9	3imtr4i 201	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (0...1) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
11	10	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) ∈ (0...1)) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
12		3mix3 1199	. . 3 ⊢ (1 < (♯‘𝑀) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
13	12	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 1 < (♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
14	2	nn0zd 9748	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
15		0zd 9638	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → 0 ∈ ℤ)
16		1zzd 9653	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
17		fztri3or 10425	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑀) < 0 ∨ (♯‘𝑀) ∈ (0...1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) < 0 ∨ (♯‘𝑀) ∈ (0...1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
19	6, 11, 13, 18	mpjao3dan 1348	1 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078  Fincfn 7015  0cc0 8172  1c1 8173   < clt 8353  ℕ₀cn0 9545  ℤcz 9626  ...cfz 10393  ♯chash 11195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-recs 6569  df-frec 6655  df-er 6800  df-en 7016  df-dom 7017  df-fin 7018  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-ihash 11196

This theorem is referenced by: (None)