Theorem hashfiv01gt1 10528

Description: The size of a finite set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashfiv01gt1	⊢ (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Proof of Theorem hashfiv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → (♯‘𝑀) < 0)
2		hashcl 10527	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
3		nn0nlt0 9003	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
5	4	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → ¬ (♯‘𝑀) < 0)
6	1, 5	pm2.21dd 609	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) < 0) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
7		orc 701	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) → (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
8		fz01or 9891	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (0...1) ↔ ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1))
9		df-3or 963	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
10	7, 8, 9	3imtr4i 200	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (0...1) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
11	10	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑀) ∈ (0...1)) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
12		3mix3 1152	. . 3 ⊢ (1 < (♯‘𝑀) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
13	12	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 1 < (♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
14	2	nn0zd 9171	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
15		0zd 9066	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → 0 ∈ ℤ)
16		1zzd 9081	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
17		fztri3or 9819	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑀) < 0 ∨ (♯‘𝑀) ∈ (0...1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1216	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) < 0 ∨ (♯‘𝑀) ∈ (0...1) ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
19	6, 11, 13, 18	mpjao3dan 1285	1 ⊢ (𝑀 ∈ Fin → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  0cc0 7620  1c1 7621   < clt 7800  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ...cfz 9790  ♯chash 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-ihash 10522

This theorem is referenced by: (None)