ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnegap0 GIF version

Theorem expnegap0 9800
Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expnegap0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expnegap0
StepHypRef Expression
1 elnn0 8567 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnne0 8344 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
32adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4 nncn 8324 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
54adantl 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
65negeq0d 7688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
76necon3abid 2288 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
83, 7mpbid 145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
98iffalsed 3383 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁))))
10 nnnn0 8572 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12 nn0nlt0 8591 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1411nn0red 8619 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1514lt0neg1d 7893 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
1613, 15mtbid 630 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
1716iffalsed 3383 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))
185negnegd 7687 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1918fveq2d 5257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁))
2019oveq2d 5607 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
219, 17, 203eqtrd 2119 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
2221adantlr 461 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
23 simp1 939 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
24 simp3 941 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnzd 8763 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2625znegcld 8766 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
27 simp2 940 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 # 0)
2827orcd 685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ -𝑁))
29 expival 9794 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ -𝑁)) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))))
3023, 26, 28, 29syl3anc 1170 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))))
31303expa 1139 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘--𝑁)))))
32 expinnval 9795 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁))
3332oveq2d 5607 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
3433adantlr 461 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁)))
3522, 31, 343eqtr4d 2125 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
36 1div1e1 8069 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
3736eqcomi 2087 . . . . . 6 1 = (1 / 1)
38 negeq 7578 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
39 neg0 7631 . . . . . . . . 9 -0 = 0
4038, 39syl6eq 2131 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
4140oveq2d 5607 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝐴↑-𝑁) = (𝐴↑0))
42 exp0 9796 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
4341, 42sylan9eqr 2137 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = 1)
44 oveq2 5599 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
4544, 42sylan9eqr 2137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
4645oveq2d 5607 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / 1))
4737, 43, 463eqtr4a 2141 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
4847adantlr 461 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
4935, 48jaodan 744 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
501, 49sylan2b 281 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
51503impa 1134 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  ifcif 3373  {csn 3422   class class class wbr 3811   × cxp 4399  cfv 4969  (class class class)co 5591  cc 7251  0cc0 7253  1c1 7254   · cmul 7258   < clt 7425  cle 7426  -cneg 7557   # cap 7958   / cdiv 8037  cn 8316  0cn0 8565  cz 8646  seqcseq 9740  cexp 9791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-iseq 9741  df-iexp 9792
This theorem is referenced by:  expineg2  9801  expn1ap0  9802  expnegzap  9826
  Copyright terms: Public domain W3C validator