Theorem prime 9290

Description: Two ways to express "𝐴 is a prime number (or 1)". (Contributed by NM, 4-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
prime	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem prime

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
2		1z 9217	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zdceq 9266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 1)
4	2, 3	mpan2 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → DECID 𝑥 = 1)
5		dfordc 882	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (¬ 𝑥 = 1 → 𝑥 = 𝐴)))
6		df-ne 2337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑥 = 1)
7	6	imbi1i 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴) ↔ (¬ 𝑥 = 1 → 𝑥 = 𝐴))
8	5, 7	bitr4di 197	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
9	1, 4, 8	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
10	9	imbi2d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴))))
11		impexp 261	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)))
12		bi2.04 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
13	11, 12	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
14	10, 13	bitr4di 197	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
15	14	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
16		nngt1ne1 8892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (1 < 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 1))
17	16	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 < 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 1))
18	17	anbi1d 461	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
19		nnz 9210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
20		nnre 8864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
21		gtndiv 9286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑥) → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
22	21	3expia 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
23	20, 22	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
24	23	con2d 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 𝑥))
25		nnre 8864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
26		lenlt 7974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
27	20, 25, 26	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
28	24, 27	sylibrd 168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥 ≤ 𝐴))
29	28	ancoms 266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥 ≤ 𝐴))
30	19, 29	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 ≤ 𝐴))
31	30	pm4.71rd 392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
32	31	anbi2d 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ))))
33		3anass 972	. . . . . 6 ⊢ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
34	32, 33	bitr4di 197	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
35	18, 34	bitr3d 189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
36	35	imbi1d 230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
37	15, 36	bitrd 187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
38	37	ralbidva 2462	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  1c1 7754   < clt 7933   ≤ cle 7934   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  infpnlem1  12289