Theorem prime 9416

Description: Two ways to express "𝐴 is a prime number (or 1)". (Contributed by NM, 4-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
prime	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem prime

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
2		1z 9343	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zdceq 9392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 1)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → DECID 𝑥 = 1)
5		dfordc 893	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (¬ 𝑥 = 1 → 𝑥 = 𝐴)))
6		df-ne 2365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑥 = 1)
7	6	imbi1i 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴) ↔ (¬ 𝑥 = 1 → 𝑥 = 𝐴))
8	5, 7	bitr4di 198	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
9	1, 4, 8	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴))))
11		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)))
12		bi2.04 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
13	11, 12	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
14	10, 13	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
16		nngt1ne1 9017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (1 < 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 1))
17	16	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 < 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 1))
18	17	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
19		nnz 9336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
20		nnre 8989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
21		gtndiv 9412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑥) → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
22	21	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
23	20, 22	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
24	23	con2d 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 𝑥))
25		nnre 8989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
26		lenlt 8095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
27	20, 25, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
28	24, 27	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥 ≤ 𝐴))
29	28	ancoms 268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥 ≤ 𝐴))
30	19, 29	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 ≤ 𝐴))
31	30	pm4.71rd 394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
32	31	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ))))
33		3anass 984	. . . . . 6 ⊢ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
34	32, 33	bitr4di 198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
35	18, 34	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
36	35	imbi1d 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
37	15, 36	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
38	37	ralbidva 2490	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  1c1 7873   < clt 8054   ≤ cle 8055   / cdiv 8691  ℕcn 8982  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  infpnlem1  12497