Theorem fzind 9441

Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fzind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fzind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fzind.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fzind.5	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
fzind.6	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fzind	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
3		fzind.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)))
5		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝑦 ≤ 𝑁))
6	5	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
7		fzind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒)))
9		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
10	9	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
11		fzind.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
12	10, 11	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
13		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
14	13	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15		fzind.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
16	14, 15	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)))
17		fzind.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
18	17	3expib 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓))
19		zre 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
20		zre 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21		p1le 8876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁)
22	21	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	19, 20, 22	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
24	23	imdistanda 448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
25	24	imim1d 75	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
26	25	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
27		zltp1le 9380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
28	27	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
30	29	pm5.32d 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
32		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
33	32	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒 → 𝜃)))
34	33	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒 → 𝜃)))
35	34	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
36	31, 35	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
37	36	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))))
38	37	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
39	38	expd 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))))
40	39	3impib 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))))
42	41	impd 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
43	42	a2d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
44	26, 43	syld 45	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
45	4, 8, 12, 16, 18, 44	uzind 9437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏))
46	45	expcomd 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
47	46	3expb 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾)) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
48	47	expcom 116	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
49	48	com23 78	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
50	49	3impia 1202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
51	50	impd 254	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝜏))
52	51	impcom 125	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  fnn0ind  9442  fzind2  10315