ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzind GIF version

Theorem fzind 9398
Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind.1 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
fzind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fzind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fzind.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fzind.5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)
fzind.6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fzind (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind
StepHypRef Expression
1 breq1 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥𝑁𝑀𝑁))
21anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
3 fzind.1 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
42, 3imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)))
5 breq1 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑁𝑦𝑁))
65anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁)))
7 fzind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
86, 7imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒)))
9 breq1 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
109anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
11 fzind.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
1210, 11imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
13 breq1 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥𝑁𝐾𝑁))
1413anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁)))
15 fzind.4 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
1614, 15imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁) → 𝜏)))
17 fzind.5 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)
18173expib 1208 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓))
19 zre 9287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
20 zre 9287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21 p1le 8836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑦𝑁)
22213expia 1207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁𝑦𝑁))
2319, 20, 22syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁𝑦𝑁))
2423imdistanda 448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁)))
2524imim1d 75 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
26253ad2ant2 1021 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
27 zltp1le 9337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
2827adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
2928expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
3029pm5.32d 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
3130adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
32 fzind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3332expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒𝜃)))
34333expa 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒𝜃)))
3534com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3631, 35sylbird 170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3736ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃))))
3837com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃))))
3938expd 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃)))))
40393impib 1203 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃))))
4140com23 78 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃))))
4241impd 254 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
4342a2d 26 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
4426, 43syld 45 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
454, 8, 12, 16, 18, 44uzind 9394 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁) → 𝜏))
4645expcomd 1452 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
47463expb 1206 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾)) → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
4847expcom 116 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
4948com23 78 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
50493impia 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
5150impd 254 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝜏))
5251impcom 125 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896  cr 7840  1c1 7842   + caddc 7844   < clt 8022  cle 8023  cz 9283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284
This theorem is referenced by:  fnn0ind  9399  fzind2  10269
  Copyright terms: Public domain W3C validator