Theorem sub1m1 9287

Description: Subtracting two times 1 from a number. (Contributed by AV, 23-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sub1m1	⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))

Proof of Theorem sub1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8087	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2, 2	subsub4d 8413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
4		1p1e2 9152	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 + 1) = 2)
6	5	oveq2d 5959	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
7	3, 6	eqtrd 2237	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  1c1 7925   + caddc 7927   − cmin 8242  2c2 9086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244  df-2 9094

This theorem is referenced by:  hashdifpr  10963