Theorem subsub4d 8523

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub4 8414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1273	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6020  ℂcc 8032   + caddc 8037   − cmin 8352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-setind 4634  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-br 4088  df-opab 4150  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-sub 8354

This theorem is referenced by:  sub1m1  9397  cnm2m1cnm3  9398  nn0n0n1ge2  9552  ubmelm1fzo  10474  ccatass  11191  maxabslemlub  11787  bdtrilem  11819  fsumparts  12051  arisum2  12080  cvgratz  12113  sin01bnd  12338  cos01bnd  12339  cos12dec  12349  limcimolemlt  15414  dveflem  15476  lgsquadlem1  15832  clwwlkext2edg  16299  clwwlknonex2lem1  16314  clwwlknonex2lem2  16315  qdiff  16715