Theorem submmnd 13565

Description: Submonoids are themselves monoids under the given operation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submmnd.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submmnd	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝐻 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13556	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
2		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4		submmnd.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	2, 3, 4	issubm2 13558	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
7	6	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd))
8	7	simp3d 1037	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝐻 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084   ↾_s cress 13085  0_gc0g 13341  Mndcmnd 13501  SubMndcsubmnd 13543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-submnd 13545

This theorem is referenced by:  subm0  13567  subsubm  13568  resmhm  13572  resmhm2b  13574