Theorem submmulg 13296

Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
submmulgcl.t	⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
submmulg.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
submmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submmulg	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem submmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		submmulg.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆))
4		eqidd 2197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
5		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6		submrcl 13103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
7	3, 4, 5, 6	ressplusgd 12806	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
8	1, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
9	8	seqeq2d 10546	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
10	9	fveq1d 5560	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	submss 13108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	13	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15		simp3 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
16	14, 15	sseldd 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
19		submmulgcl.t	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
20		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
21	12, 18, 19, 20	mulgnn 13256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
22	11, 17, 21	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
23	2	submbas 13113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
24	23	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
25	15, 24	eleqtrd 2275	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
26	25	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
27		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
28		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
29		submmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐻)
30		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
31	27, 28, 29, 30	mulgnn 13256	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
32	11, 26, 31	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
33	10, 22, 32	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
34		simpl1 1002	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
35		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
36	2, 35	subm0 13114	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
37	34, 36	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
38	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
39	12, 35, 19	mulg0 13255	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∙ 𝑋) = (0g‘𝐺))
40	38, 39	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∙ 𝑋) = (0g‘𝐺))
41	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
42		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
43	27, 42, 29	mulg0 13255	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐻))
44	41, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐻))
45	37, 40, 44	3eqtr4d 2239	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∙ 𝑋) = (0 · 𝑋))
46		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
47	46	oveq1d 5937	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (0 ∙ 𝑋))
48	46	oveq1d 5937	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
49	45, 47, 48	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
50		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
51		elnn0 9251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
52	50, 51	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
53	33, 49, 52	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  {csn 3622   × cxp 4661  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  0cc0 7879  1c1 7880  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249  seqcseq 10539  Basecbs 12678   ↾_s cress 12679  +_gcplusg 12755  0_gc0g 12927  Mndcmnd 13057  SubMndcsubmnd 13090  ._gcmg 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-submnd 13092  df-minusg 13136  df-mulg 13250

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15314