Theorem subsubrng2 13711

Description: The set of subrings of a subring are the smaller subrings. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrng.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subsubrng2	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (SubRng‘𝑆) = ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem subsubrng2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsubrng.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subsubrng 13710	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴)))
3		elin 3342	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴))
4		velpw 3608	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐴)
5	4	anbi2i 457	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴))
6	3, 5	bitr2i 185	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))
7	2, 6	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRng‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴)))
8	7	eqrdv 2191	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (SubRng‘𝑆) = ((SubRng‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  𝒫 cpw 3601  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ↾_s cress 12619  SubRngcsubrng 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-subg 13240  df-abl 13357  df-rng 13429  df-subrng 13694

This theorem is referenced by: (None)