Theorem xmetge0 13159

Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetge0	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmet0 13157	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
2	1	3adant2 1011	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
3		0xr 7966	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xaddid1 9819	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
6	2, 5	eqtr4di 2221	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = (0 +𝑒 0))
7		simp1 992	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		simp2 993	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		simp3 994	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10		xmettri2 13155	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
11	7, 8, 9, 9, 10	syl13anc 1235	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
12	6, 11	eqbrtrrd 4013	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 +𝑒 0) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
13		xmetcl 13146	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14		xleaddadd 9844	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (0 +𝑒 0) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
15	3, 13, 14	sylancr 412	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (0 +𝑒 0) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
16	12, 15	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  0cc0 7774  ℝ^*cxr 7953   ≤ cle 7955   +_𝑒 cxad 9727  ∞Metcxmet 12774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-2 8937  df-xadd 9730  df-xmet 12782

This theorem is referenced by:  metge0  13160  xmetlecl  13161  xmetrtri  13170  xblpnf  13193  blgt0  13196  xblss2  13199  xblm  13211  xmsge0  13261  comet  13293  bdxmet  13295  bdmet  13296  xmetxp  13301