ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetge0 GIF version

Theorem xmetge0 14342
Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetge0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetge0
StepHypRef Expression
1 xmet0 14340 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
213adant2 1018 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
3 0xr 8035 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
4 xaddid1 9894 . . . . 5 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (0 +𝑒 0) = 0
62, 5eqtr4di 2240 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = (0 +𝑒 0))
7 simp1 999 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 simp2 1000 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
9 simp3 1001 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
10 xmettri2 14338 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
117, 8, 9, 9, 10syl13anc 1251 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
126, 11eqbrtrrd 4042 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 +𝑒 0) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
13 xmetcl 14329 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14 xleaddadd 9919 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (0 +𝑒 0) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
153, 13, 14sylancr 414 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (0 +𝑒 0) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
1612, 15mpbird 167 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5897  0cc0 7842  *cxr 8022  cle 8024   +𝑒 cxad 9802  ∞Metcxmet 13866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-2 9009  df-xadd 9805  df-xmet 13874
This theorem is referenced by:  metge0  14343  xmetlecl  14344  xmetrtri  14353  xblpnf  14376  blgt0  14379  xblss2  14382  xblm  14394  xmsge0  14444  comet  14476  bdxmet  14478  bdmet  14479  xmetxp  14484
  Copyright terms: Public domain W3C validator