Theorem xmeter 14672

Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeter	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2		cnvimass 5032	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
3	1, 2	eqsstri 3215	. . . 4 ⊢ ∼ ⊆ dom 𝐷
4		xmetf 14586	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5	3, 4	fssdm 5422	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6		relxp 4772	. . 3 ⊢ Rel (𝑋 × 𝑋)
7		relss 4750	. . 3 ⊢ ( ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ∼ ))
8	5, 6, 7	mpisyl 1457	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel ∼ )
9	1	xmeterval 14671	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
10	9	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
11	10	simp2d 1012	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑋)
12	10	simp1d 1011	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		xmetsym 14604	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
15	13, 12, 11, 14	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
16	10	simp3d 1013	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
17	15, 16	eqeltrrd 2274	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18	1	xmeterval 14671	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
20	11, 12, 17, 19	mpbir3and 1182	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∼ 𝑥)
21	12	adantrr 479	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	1	xmeterval 14671	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
23	22	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∼ 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
24	23	adantrl 478	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
25	24	simp2d 1012	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
26		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	16	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
28	24	simp3d 1013	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29		rexadd 9927	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30		readdcl 8005	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
32	27, 28, 31	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
33	11	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
34		xmettri 14608	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
35	26, 21, 25, 33, 34	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
36		xmetlecl 14603	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
37	26, 21, 25, 32, 35, 36	syl122anc 1258	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
38	1	xmeterval 14671	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
39	38	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
40	21, 25, 37, 39	mpbir3and 1182	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∼ 𝑧)
41		xmet0 14599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42		0re 8026	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
43	41, 42	eqeltrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
44	43	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
45	44	pm4.71rd 394	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
46		df-3an 982	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47		anidm 396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋)
48	47	anbi2ci 459	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
49	46, 48	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
50	45, 49	bitr4di 198	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
51	1	xmeterval 14671	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
52	50, 51	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥))
53	8, 20, 40, 52	iserd 6618	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033   × cxp 4661  ^◡ccnv 4662  dom cdm 4663   “ cima 4666  Rel wrel 4668  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   Er wer 6589  ℝcr 7878  0cc0 7879   + caddc 7882  ℝ^*cxr 8060   ≤ cle 8062   +_𝑒 cxad 9845  ∞Metcxmet 14092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-er 6592  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-2 9049  df-xadd 9848  df-xmet 14100

This theorem is referenced by:  blpnfctr  14675  xmetresbl  14676