ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmeter GIF version

Theorem xmeter 13603
Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmeter (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmeter.1 . . . . 5 = (𝐷 “ ℝ)
2 cnvimass 4987 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
31, 2eqsstri 3187 . . . 4 ⊆ dom 𝐷
4 xmetf 13517 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
53, 4fssdm 5376 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6 relxp 4732 . . 3 Rel (𝑋 × 𝑋)
7 relss 4710 . . 3 ( ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ))
85, 6, 7mpisyl 1446 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel )
91xmeterval 13602 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
109biimpa 296 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
1110simp2d 1010 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑦𝑋)
1210simp1d 1009 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑥𝑋)
13 simpl 109 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 xmetsym 13535 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1513, 12, 11, 14syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
1610simp3d 1011 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
1715, 16eqeltrrd 2255 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
181xmeterval 13602 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
1918adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
2011, 12, 17, 19mpbir3and 1180 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝑦) → 𝑦 𝑥)
2112adantrr 479 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑥𝑋)
221xmeterval 13602 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 𝑧 ↔ (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
2322biimpa 296 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 𝑧) → (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
2423adantrl 478 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑦𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
2524simp2d 1010 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑧𝑋)
26 simpl 109 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2716adantrr 479 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
2824simp3d 1011 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29 rexadd 9839 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30 readdcl 7928 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3129, 30eqeltrd 2254 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2anc 411 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
3311adantrr 479 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑦𝑋)
34 xmettri 13539 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
3526, 21, 25, 33, 34syl13anc 1240 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
36 xmetlecl 13534 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
3726, 21, 25, 32, 35, 36syl122anc 1247 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
381xmeterval 13602 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑥𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
3938adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑥𝑋𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
4021, 25, 37, 39mpbir3and 1180 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 𝑦𝑦 𝑧)) → 𝑥 𝑧)
41 xmet0 13530 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42 0re 7948 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
4341, 42eqeltrdi 2268 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4443ex 115 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
4544pm4.71rd 394 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋)))
46 df-3an 980 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47 anidm 396 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝑥𝑋) ↔ 𝑥𝑋)
4847anbi2ci 459 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋))
4946, 48bitri 184 . . . 4 ((𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋))
5045, 49bitr4di 198 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
511xmeterval 13602 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 𝑥 ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5250, 51bitr4d 191 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 𝑥))
538, 20, 40, 52iserd 6555 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Er 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129   class class class wbr 4000   × cxp 4621  ccnv 4622  dom cdm 4623  cima 4626  Rel wrel 4628  cfv 5212  (class class class)co 5869   Er wer 6526  cr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805  *cxr 7981  cle 7983   +𝑒 cxad 9757  ∞Metcxmet 13147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-er 6529  df-map 6644  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-2 8967  df-xadd 9760  df-xmet 13155
This theorem is referenced by:  blpnfctr  13606  xmetresbl  13607
  Copyright terms: Public domain W3C validator