Theorem xmeter 14952

Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeter	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2		cnvimass 5050	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
3	1, 2	eqsstri 3226	. . . 4 ⊢ ∼ ⊆ dom 𝐷
4		xmetf 14866	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5	3, 4	fssdm 5446	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6		relxp 4788	. . 3 ⊢ Rel (𝑋 × 𝑋)
7		relss 4766	. . 3 ⊢ ( ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ∼ ))
8	5, 6, 7	mpisyl 1467	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel ∼ )
9	1	xmeterval 14951	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
10	9	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
11	10	simp2d 1013	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑋)
12	10	simp1d 1012	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		xmetsym 14884	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
15	13, 12, 11, 14	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
16	10	simp3d 1014	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
17	15, 16	eqeltrrd 2284	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18	1	xmeterval 14951	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
20	11, 12, 17, 19	mpbir3and 1183	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∼ 𝑥)
21	12	adantrr 479	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	1	xmeterval 14951	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
23	22	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∼ 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
24	23	adantrl 478	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
25	24	simp2d 1013	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
26		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	16	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
28	24	simp3d 1014	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29		rexadd 9981	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30		readdcl 8058	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrd 2283	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
32	27, 28, 31	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
33	11	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
34		xmettri 14888	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
35	26, 21, 25, 33, 34	syl13anc 1252	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
36		xmetlecl 14883	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
37	26, 21, 25, 32, 35, 36	syl122anc 1259	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
38	1	xmeterval 14951	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
39	38	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
40	21, 25, 37, 39	mpbir3and 1183	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∼ 𝑧)
41		xmet0 14879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42		0re 8079	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
43	41, 42	eqeltrdi 2297	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
44	43	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
45	44	pm4.71rd 394	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
46		df-3an 983	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47		anidm 396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋)
48	47	anbi2ci 459	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
49	46, 48	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
50	45, 49	bitr4di 198	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
51	1	xmeterval 14951	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
52	50, 51	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥))
53	8, 20, 40, 52	iserd 6653	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3167   class class class wbr 4047   × cxp 4677  ^◡ccnv 4678  dom cdm 4679   “ cima 4682  Rel wrel 4684  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   Er wer 6624  ℝcr 7931  0cc0 7932   + caddc 7935  ℝ^*cxr 8113   ≤ cle 8115   +_𝑒 cxad 9899  ∞Metcxmet 14342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-er 6627  df-map 6744  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-2 9102  df-xadd 9902  df-xmet 14350

This theorem is referenced by:  blpnfctr  14955  xmetresbl  14956