Theorem xmeter 13603

Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeter	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

Proof of Theorem xmeter

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2		cnvimass 4987	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) ⊆ dom 𝐷
3	1, 2	eqsstri 3187	. . . 4 ⊢ ∼ ⊆ dom 𝐷
4		xmetf 13517	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5	3, 4	fssdm 5376	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6		relxp 4732	. . 3 ⊢ Rel (𝑋 × 𝑋)
7		relss 4710	. . 3 ⊢ ( ∼ ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (Rel (𝑋 × 𝑋) → Rel ∼ ))
8	5, 6, 7	mpisyl 1446	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → Rel ∼ )
9	1	xmeterval 13602	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
10	9	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
11	10	simp2d 1010	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑋)
12	10	simp1d 1009	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		xmetsym 13535	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
15	13, 12, 11, 14	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
16	10	simp3d 1011	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
17	15, 16	eqeltrrd 2255	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18	1	xmeterval 13602	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
20	11, 12, 17, 19	mpbir3and 1180	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∼ 𝑦) → 𝑦 ∼ 𝑥)
21	12	adantrr 479	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	1	xmeterval 13602	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦 ∼ 𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
23	22	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∼ 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
24	23	adantrl 478	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ))
25	24	simp2d 1010	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
26		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	16	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
28	24	simp3d 1011	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
29		rexadd 9839	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) = ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)))
30		readdcl 7928	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) + (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
32	27, 28, 31	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ)
33	11	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
34		xmettri 13539	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
35	26, 21, 25, 33, 34	syl13anc 1240	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))
36		xmetlecl 13534	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑧) ≤ ((𝑥𝐷𝑦) +𝑒 (𝑦𝐷𝑧)))) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
37	26, 21, 25, 32, 35, 36	syl122anc 1247	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)
38	1	xmeterval 13602	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
39	38	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → (𝑥 ∼ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑧) ∈ ℝ)))
40	21, 25, 37, 39	mpbir3and 1180	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∼ 𝑧)) → 𝑥 ∼ 𝑧)
41		xmet0 13530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
42		0re 7948	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
43	41, 42	eqeltrdi 2268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)
44	43	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
45	44	pm4.71rd 394	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
46		df-3an 980	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ))
47		anidm 396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋)
48	47	anbi2ci 459	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
49	46, 48	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
50	45, 49	bitr4di 198	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
51	1	xmeterval 13602	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
52	50, 51	bitr4d 191	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∼ 𝑥))
53	8, 20, 40, 52	iserd 6555	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∼ Er 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000   × cxp 4621  ^◡ccnv 4622  dom cdm 4623   “ cima 4626  Rel wrel 4628  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869   Er wer 6526  ℝcr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805  ℝ^*cxr 7981   ≤ cle 7983   +_𝑒 cxad 9757  ∞Metcxmet 13147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-er 6529  df-map 6644  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-2 8967  df-xadd 9760  df-xmet 13155

This theorem is referenced by:  blpnfctr  13606  xmetresbl  13607