Theorem 1nprm 16639

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12176	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
3	1, 2	mpbiri 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
4		nnnn0 12435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
5		dvds1 16279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
7	6	bicomd 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
8	3, 7	biadanii 827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
9		velsn 4571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
10		breq1 5075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
11	10	elrab 3629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
12	8, 9, 11	3bitr4ri 305	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
13	12	eqriv 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
14		1ex 11131	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	ensn1 8958	. . . . 5 ⊢ {1} ≈ 1o
16	13, 15	eqbrtri 5093	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o
17		1sdom2 9148	. . . 4 ⊢ 1o ≺ 2o
18		ensdomtr 9041	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o)
19	16, 17, 18	mp2an 698	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o
20		sdomnen 8918	. . 3 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o
22		isprm 16633	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o))
23	1, 22	mpbiran 715	. 2 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
24	21, 23	mtbir 324	1 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  {csn 4555   class class class wbr 5072  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389   ≈ cen 8880   ≺ csdm 8882  1c1 11030  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  isprm2  16642  nprmdvds1  16667  prm23lt5  16776  pcmpt  16854  prmo1  16999  prmlem1a  17068  prmcyg  19860  prmgrpsimpgd  20082  prmirredlem  21447  bposlem5  27269  2lgs  27388  cos9thpiminplylem2  33967  chtvalz  34813  prmdvdsfmtnof1lem2  48063  lighneallem3  48085