Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1nprm 16000
 Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 11626 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
2 eleq1 2899 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
31, 2mpbiri 261 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
4 nnnn0 11882 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
5 dvds1 15648 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
76bicomd 226 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
83, 7biadanii 821 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
9 velsn 4556 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
10 breq1 5042 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
1110elrab 3657 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
128, 9, 113bitr4ri 307 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
1312eqriv 2818 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
14 1ex 10614 . . . . . 6 1 ∈ V
1514ensn1 8548 . . . . 5 {1} ≈ 1o
1613, 15eqbrtri 5060 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o
17 1sdom2 8693 . . . 4 1o ≺ 2o
18 ensdomtr 8629 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o)
1916, 17, 18mp2an 691 . . 3 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o
20 sdomnen 8513 . . 3 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
2119, 20ax-mp 5 . 2 ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o
22 isprm 15994 . . 3 (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o))
231, 22mpbiran 708 . 2 (1 ∈ ℙ ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
2421, 23mtbir 326 1 ¬ 1 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3130  {csn 4540   class class class wbr 5039  1oc1o 8070  2oc2o 8071   ≈ cen 8481   ≺ csdm 8483  1c1 10515  ℕcn 11615  ℕ0cn0 11875   ∥ cdvds 15586  ℙcprime 15992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-dvds 15587  df-prm 15993 This theorem is referenced by:  isprm2  16003  nprmdvds1  16027  prm23lt5  16128  pcmpt  16205  prmo1  16350  prmlem1a  16419  prmcyg  18993  prmgrpsimpgd  19215  prmirredlem  20616  bposlem5  25851  2lgs  25970  chtvalz  31908  prmdvdsfmtnof1lem2  43921  lighneallem3  43944
 Copyright terms: Public domain W3C validator