Theorem 1nprm 16612

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eleq1 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
3	1, 2	mpbiri 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
4		nnnn0 12475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
5		dvds1 16258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
7	6	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
8	3, 7	biadanii 820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
9		velsn 4643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
10		breq1 5150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
11	10	elrab 3682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
12	8, 9, 11	3bitr4ri 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
13	12	eqriv 2729	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
14		1ex 11206	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	ensn1 9013	. . . . 5 ⊢ {1} ≈ 1o
16	13, 15	eqbrtri 5168	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o
17		1sdom2 9236	. . . 4 ⊢ 1o ≺ 2o
18		ensdomtr 9109	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o)
19	16, 17, 18	mp2an 690	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o
20		sdomnen 8973	. . 3 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o
22		isprm 16606	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o))
23	1, 22	mpbiran 707	. 2 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
24	21, 23	mtbir 322	1 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  {csn 4627   class class class wbr 5147  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   ≈ cen 8932   ≺ csdm 8934  1c1 11107  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468   ∥ cdvds 16193  ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605

This theorem is referenced by:  isprm2  16615  nprmdvds1  16639  prm23lt5  16743  pcmpt  16821  prmo1  16966  prmlem1a  17036  prmcyg  19756  prmgrpsimpgd  19978  prmirredlem  21033  bposlem5  26780  2lgs  26899  chtvalz  33629  prmdvdsfmtnof1lem2  46239  lighneallem3  46261