Theorem 1nprm 16618

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12168	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
4		nnnn0 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
5		dvds1 16258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
7	6	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
8	3, 7	biadanii 822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
9		velsn 4598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
10		breq1 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
11	10	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
12	8, 9, 11	3bitr4ri 304	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
13	12	eqriv 2734	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
14		1ex 11140	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	ensn1 8970	. . . . 5 ⊢ {1} ≈ 1o
16	13, 15	eqbrtri 5121	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o
17		1sdom2 9160	. . . 4 ⊢ 1o ≺ 2o
18		ensdomtr 9053	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o)
19	16, 17, 18	mp2an 693	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o
20		sdomnen 8930	. . 3 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o
22		isprm 16612	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o))
23	1, 22	mpbiran 710	. 2 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
24	21, 23	mtbir 323	1 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  {csn 4582   class class class wbr 5100  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401   ≈ cen 8892   ≺ csdm 8894  1c1 11039  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  isprm2  16621  nprmdvds1  16645  prm23lt5  16754  pcmpt  16832  prmo1  16977  prmlem1a  17046  prmcyg  19835  prmgrpsimpgd  20057  prmirredlem  21439  bposlem5  27267  2lgs  27386  cos9thpiminplylem2  33961  chtvalz  34807  prmdvdsfmtnof1lem2  47945  lighneallem3  47967