MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1nprm 16650
Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12254 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
2 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
31, 2mpbiri 258 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
4 nnnn0 12510 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
5 dvds1 16296 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
76bicomd 222 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
83, 7biadanii 821 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
9 velsn 4645 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
10 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
1110elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
128, 9, 113bitr4ri 304 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
1312eqriv 2725 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
14 1ex 11241 . . . . . 6 1 ∈ V
1514ensn1 9042 . . . . 5 {1} ≈ 1o
1613, 15eqbrtri 5169 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o
17 1sdom2 9265 . . . 4 1o ≺ 2o
18 ensdomtr 9138 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o)
1916, 17, 18mp2an 691 . . 3 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o
20 sdomnen 9002 . . 3 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
2119, 20ax-mp 5 . 2 ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o
22 isprm 16644 . . 3 (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o))
231, 22mpbiran 708 . 2 (1 ∈ ℙ ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
2421, 23mtbir 323 1 ¬ 1 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3429  {csn 4629   class class class wbr 5148  1oc1o 8480  2oc2o 8481  cen 8961  csdm 8963  1c1 11140  cn 12243  0cn0 12503  cdvds 16231  cprime 16642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-prm 16643
This theorem is referenced by:  isprm2  16653  nprmdvds1  16677  prm23lt5  16783  pcmpt  16861  prmo1  17006  prmlem1a  17076  prmcyg  19849  prmgrpsimpgd  20071  prmirredlem  21398  bposlem5  27234  2lgs  27353  chtvalz  34261  prmdvdsfmtnof1lem2  46925  lighneallem3  46947
  Copyright terms: Public domain W3C validator