Theorem 1nprm 16382

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11984	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eleq1 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
3	1, 2	mpbiri 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
4		nnnn0 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
5		dvds1 16026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
7	6	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
8	3, 7	biadanii 819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
9		velsn 4583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
10		breq1 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
11	10	elrab 3626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
12	8, 9, 11	3bitr4ri 304	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
13	12	eqriv 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
14		1ex 10972	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
15	14	ensn1 8790	. . . . 5 ⊢ {1} ≈ 1o
16	13, 15	eqbrtri 5100	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o
17		1sdom2 9000	. . . 4 ⊢ 1o ≺ 2o
18		ensdomtr 8882	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1o ∧ 1o ≺ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o)
19	16, 17, 18	mp2an 689	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o
20		sdomnen 8752	. . 3 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2o → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o
22		isprm 16376	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o))
23	1, 22	mpbiran 706	. 2 ⊢ (1 ∈ ℙ ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2o)
24	21, 23	mtbir 323	1 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {crab 3070  {csn 4567   class class class wbr 5079  1_oc1o 8281  2_oc2o 8282   ≈ cen 8713   ≺ csdm 8715  1c1 10873  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233   ∥ cdvds 15961  ℙcprime 16374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-dvds 15962  df-prm 16375

This theorem is referenced by:  isprm2  16385  nprmdvds1  16409  prm23lt5  16513  pcmpt  16591  prmo1  16736  prmlem1a  16806  prmcyg  19493  prmgrpsimpgd  19715  prmirredlem  20692  bposlem5  26434  2lgs  26553  chtvalz  32605  prmdvdsfmtnof1lem2  45006  lighneallem3  45028