Theorem snnen2o 8903

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. This holds for proper singletons (𝐴 ∈ V) as well as for singletons being the empty set (𝐴 ∉ V). (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2o	⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o

Proof of Theorem snnen2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8432	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
2		php5 8901	. . . 4 ⊢ (1o ∈ ω → ¬ 1o ≈ suc 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 1o ≈ suc 1o
4		ensn1g 8763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
5		df-2o 8268	. . . . . 6 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ suc 1o = 2o
7	6	breq2i 5078	. . . 4 ⊢ (1o ≈ suc 1o ↔ 1o ≈ 2o)
8		ensymb 8743	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 1o ≈ {𝐴})
9		entr 8747	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2o) → 1o ≈ 2o)
10	9	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (1o ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
11	8, 10	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o → ({𝐴} ≈ 2o → 1o ≈ 2o))
12	11	con3rr3 155	. . . 4 ⊢ (¬ 1o ≈ 2o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
13	7, 12	sylnbi 329	. . 3 ⊢ (¬ 1o ≈ suc 1o → ({𝐴} ≈ 1o → ¬ {𝐴} ≈ 2o))
14	3, 4, 13	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
15		2on0 8276	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
16		ensymb 8743	. . . . 5 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o ≈ ∅)
17		en0 8758	. . . . 5 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
18	16, 17	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ 2o ↔ 2o = ∅)
19	15, 18	nemtbir 3039	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ 2o
20		snprc 4650	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
21	20	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
22	21	breq1d 5080	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} ≈ 2o ↔ ∅ ≈ 2o))
23	19, 22	mtbiri 326	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ {𝐴} ≈ 2o)
24	14, 23	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ {𝐴} ≈ 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  suc csuc 6253  ωcom 7687  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261   ≈ cen 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694

This theorem is referenced by:  pmtrsn  19042  trivnsimpgd  19615