Theorem 0sdom1domALT 9253

Description: Alternate proof of 0sdom1dom 9252, shorter but requiring ax-un 7732. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0sdom1domALT	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0sdom1domALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7886	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		sucdom 9249	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → (∅ ≺ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴)
4		df-1o 8478	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
5	4	breq1i 5149	. 2 ⊢ (1o ≼ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴)
6	3, 5	bitr4i 278	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  suc csuc 6365  ωcom 7862  1_oc1o 8471   ≼ cdom 8951   ≺ csdm 8952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7863  df-1o 8478  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957

This theorem is referenced by: (None)