Theorem 0sdom1domALT 9275

Description: Alternate proof of 0sdom1dom 9274, shorter but requiring ax-un 7755. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0sdom1domALT	⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Proof of Theorem 0sdom1domALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7910	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		sucdom 9271	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → (∅ ≺ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴)
4		df-1o 8506	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
5	4	breq1i 5150	. 2 ⊢ (1o ≼ 𝐴 ↔ suc ∅ ≼ 𝐴)
6	3, 5	bitr4i 278	1 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  suc csuc 6386  ωcom 7887  1_oc1o 8499   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989

This theorem is referenced by: (None)