Theorem mnfnre 11304

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 11298	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		df-pnf 11297	. . . . . 6 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3	2	pweqi 4616	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
4	1, 3	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
5		2pwuninel 9172	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
6	4, 5	eqneltri 2860	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
7		recn 11245	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
8	6, 7	mto 197	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
9	8	nelir 3049	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  ℂcc 11153  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298

This theorem is referenced by:  renemnf  11310  ltxrlt  11331  xrltnr  13161  nltmnf  13171  hashnemnf  14383  mnfnei  23229  deg1nn0clb  26129  mnfnre2  45407