Theorem mnfnre 10419

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pwuninel 8403	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
2		df-mnf 10414	. . . . . 6 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
3		df-pnf 10413	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
4	3	pweqi 4383	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
5	2, 4	eqtri 2802	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
6	5	eleq1i 2850	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
7	1, 6	mtbir 315	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
8		recn 10362	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
9	7, 8	mto 189	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
10	9	nelir 3078	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3075  𝒫 cpw 4379  ∪ cuni 4671  ℂcc 10270  ℝcr 10271  +∞cpnf 10408  -∞cmnf 10409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414

This theorem is referenced by:  renemnf  10425  ltxrlt  10447  xrltnr  12264  nltmnf  12274  hashnemnf  13449  mnfnei  21433  deg1nn0clb  24287  mnfnre2  40529