Theorem mnfnre 11225

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 11219	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		df-pnf 11218	. . . . . 6 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3	2	pweqi 4571	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
4	1, 3	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
5		2pwuninel 9104	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
6	4, 5	eqneltri 2881	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
7		recn 11163	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
8	6, 7	mto 199	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
9	8	nelir 3064	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2142   ∉ wnel 3061  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4865  ℂcc 11071  ℝcr 11072  +∞cpnf 11213  -∞cmnf 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219

This theorem is referenced by:  renemnf  11231  ltxrlt  11253  xrltnr  13121  nltmnf  13131  hashnemnf  14357  mnfnei  23278  deg1nn0clb  26147  ply1coedeg  33782  mnfnre2  45968