MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfnre 10669
Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfnre -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre
StepHypRef Expression
1 df-mnf 10663 . . . . 5 -∞ = 𝒫 +∞
2 df-pnf 10662 . . . . . 6 +∞ = 𝒫
32pweqi 4538 . . . . 5 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫
41, 3eqtri 2847 . . . 4 -∞ = 𝒫 𝒫
5 2pwuninel 8656 . . . 4 ¬ 𝒫 𝒫 ℂ ∈ ℂ
64, 5eqneltri 2909 . . 3 ¬ -∞ ∈ ℂ
7 recn 10612 . . 3 (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
86, 7mto 200 . 2 ¬ -∞ ∈ ℝ
98nelir 3120 1 -∞ ∉ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2115  wnel 3117  𝒫 cpw 4520   cuni 4819  cc 10520  cr 10521  +∞cpnf 10657  -∞cmnf 10658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663
This theorem is referenced by:  renemnf  10675  ltxrlt  10696  xrltnr  12500  nltmnf  12510  hashnemnf  13698  mnfnei  21815  deg1nn0clb  24680  mnfnre2  41874
  Copyright terms: Public domain W3C validator