MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfnre 10419
Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfnre -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre
StepHypRef Expression
1 2pwuninel 8403 . . . 4 ¬ 𝒫 𝒫 ℂ ∈ ℂ
2 df-mnf 10414 . . . . . 6 -∞ = 𝒫 +∞
3 df-pnf 10413 . . . . . . 7 +∞ = 𝒫
43pweqi 4383 . . . . . 6 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫
52, 4eqtri 2802 . . . . 5 -∞ = 𝒫 𝒫
65eleq1i 2850 . . . 4 (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ℂ ∈ ℂ)
71, 6mtbir 315 . . 3 ¬ -∞ ∈ ℂ
8 recn 10362 . . 3 (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
97, 8mto 189 . 2 ¬ -∞ ∈ ℝ
109nelir 3078 1 -∞ ∉ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wnel 3075  𝒫 cpw 4379   cuni 4671  cc 10270  cr 10271  +∞cpnf 10408  -∞cmnf 10409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414
This theorem is referenced by:  renemnf  10425  ltxrlt  10447  xrltnr  12264  nltmnf  12274  hashnemnf  13449  mnfnei  21433  deg1nn0clb  24287  mnfnre2  40529
  Copyright terms: Public domain W3C validator