Theorem mnfnre 10284

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pwuninel 8271	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
2		df-mnf 10279	. . . . . 6 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
3		df-pnf 10278	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
4	3	pweqi 4301	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
5	2, 4	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
6	5	eleq1i 2841	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
7	1, 6	mtbir 312	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
8		recn 10228	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
9	7, 8	mto 188	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
10	9	nelir 3049	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3046  𝒫 cpw 4297  ∪ cuni 4574  ℂcc 10136  ℝcr 10137  +∞cpnf 10273  -∞cmnf 10274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279

This theorem is referenced by:  renemnf  10290  ltxrlt  10310  xrltnr  12158  nltmnf  12168  hashnemnf  13336  mnfnei  21246  deg1nn0clb  24070  mnfnre2  40135