Theorem mnfnre 10949

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 10943	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		df-pnf 10942	. . . . . 6 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3	2	pweqi 4548	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
4	1, 3	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
5		2pwuninel 8868	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
6	4, 5	eqneltri 2832	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
7		recn 10892	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
8	6, 7	mto 196	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
9	8	nelir 3051	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  ℂcc 10800  ℝcr 10801  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943

This theorem is referenced by:  renemnf  10955  ltxrlt  10976  xrltnr  12784  nltmnf  12794  hashnemnf  13986  mnfnei  22280  deg1nn0clb  25160  mnfnre2  42826