Theorem mnfnre 11276

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 11270	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		df-pnf 11269	. . . . . 6 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3	2	pweqi 4573	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
4	1, 3	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
5		2pwuninel 9130	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
6	4, 5	eqneltri 2879	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
7		recn 11214	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
8	6, 7	mto 200	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
9	8	nelir 3064	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ℂcc 11122  ℝcr 11123  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270

This theorem is used by:  renemnf  11282  ltxrlt  11304  xrltnr  13170  nltmnf  13180  hashnemnf  14408  mnfnei  23446  deg1nn0clb  26315  ply1coedeg  33999  mnfnre2  46225