Theorem mnfnre 11006

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 11000	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		df-pnf 10999	. . . . . 6 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3	2	pweqi 4552	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
4	1, 3	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
5		2pwuninel 8907	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
6	4, 5	eqneltri 2832	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
7		recn 10949	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
8	6, 7	mto 196	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
9	8	nelir 3052	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049  𝒫 cpw 4534  ∪ cuni 4840  ℂcc 10857  ℝcr 10858  +∞cpnf 10994  -∞cmnf 10995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-resscn 10916

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000

This theorem is referenced by:  renemnf  11012  ltxrlt  11033  xrltnr  12843  nltmnf  12853  hashnemnf  14046  mnfnei  22360  deg1nn0clb  25243  mnfnre2  42895