Theorem acni3 9976

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acni3.1	⊢ (𝑦 = (𝑔‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
acni3	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝐴   𝜑,𝑔   𝜓,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem acni3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0 4348	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑)
2	1	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
3		ssrab2 4039	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋
4	2, 3	jctil 519	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅))
5	4	ralimi 3066	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6		acni2 9975	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}))
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}))
8		acni3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑔‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	8	elrab 3656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝜓))
10	9	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} → 𝜓)
11	10	ralimi 3066	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
12	11	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
13	12	eximi 1835	. 2 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
14	7, 13	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  AC wacn 9867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-acn 9871

This theorem is referenced by:  fodomacn  9985  iundom2g  10469  ptclsg  23535