Theorem acni3 10097

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acni3.1	⊢ (𝑦 = (𝑔‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
acni3	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝐴   𝜑,𝑔   𝜓,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑔)

Proof of Theorem acni3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0 4338	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑)
2	1	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
3		ssrab2 4027	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋
4	2, 3	jctil 529	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅))
5	4	ralimi 3099	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6		acni2 10096	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}))
7	5, 6	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}))
8		acni3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑔‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	8	elrab 3644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝜓))
10	9	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ ((𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} → 𝜓)
11	10	ralimi 3099	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
12	11	anim2i 629	. . 3 ⊢ ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
13	12	eximi 1868	. 2 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
14	7, 13	syl 18	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  AC wacn 9990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8827  df-acn 9994

This theorem is used by:  fodomacn  10106  iundom2g  10595  ptclsg  23895