Theorem acni3 9626

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acni3.1	⊢ (𝑦 = (𝑔‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
acni3	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝐴   𝜑,𝑔   𝜓,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem acni3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0 4286	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑)
2	1	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
3		ssrab2 3979	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋
4	2, 3	jctil 523	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅))
5	4	ralimi 3073	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6		acni2 9625	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}))
7	5, 6	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}))
8		acni3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑔‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	8	elrab 3591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝜓))
10	9	simprbi 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} → 𝜓)
11	10	ralimi 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
12	11	anim2i 620	. . 3 ⊢ ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
13	12	eximi 1842	. 2 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
14	7, 13	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  {crab 3055   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  AC wacn 9519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-map 8488  df-acn 9523

This theorem is referenced by:  fodomacn  9635  iundom2g  10119  ptclsg  22466