MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni3 9462
Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acni3.1 (𝑦 = (𝑔𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
acni3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝐴   𝜑,𝑔   𝜓,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem acni3
StepHypRef Expression
1 rabn0 4296 . . . . . 6 ({𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑋 𝜑)
21biimpri 231 . . . . 5 (∃𝑦𝑋 𝜑 → {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅)
3 ssrab2 4010 . . . . 5 {𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋
42, 3jctil 523 . . . 4 (∃𝑦𝑋 𝜑 → ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅))
54ralimi 3131 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑 → ∀𝑥𝐴 ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅))
6 acni2 9461 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}))
75, 6sylan2 595 . 2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}))
8 acni3.1 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑔𝑥) → (𝜑𝜓))
98elrab 3631 . . . . . 6 ((𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} ↔ ((𝑔𝑥) ∈ 𝑋𝜓))
109simprbi 500 . . . . 5 ((𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} → 𝜓)
1110ralimi 3131 . . . 4 (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} → ∀𝑥𝐴 𝜓)
1211anim2i 619 . . 3 ((𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}) → (𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
1312eximi 1836 . 2 (∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
147, 13syl 17 1 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  wss 3884  c0 4246  wf 6324  cfv 6328  AC wacn 9355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-map 8395  df-acn 9359
This theorem is referenced by:  fodomacn  9471  iundom2g  9955  ptclsg  22224
  Copyright terms: Public domain W3C validator