Theorem acni3 10000

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acni3.1	⊢ (𝑦 = (𝑔‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
acni3	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝐴   𝜑,𝑔   𝜓,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem acni3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0 4352	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑)
2	1	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
3		ssrab2 4043	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋
4	2, 3	jctil 519	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅))
5	4	ralimi 3066	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6		acni2 9999	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}))
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}))
8		acni3.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑔‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	8	elrab 3659	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝜓))
10	9	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} → 𝜓)
11	10	ralimi 3066	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑} → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
12	11	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
13	12	eximi 1835	. 2 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ 𝜑}) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
14	7, 13	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  AC wacn 9891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-acn 9895

This theorem is referenced by:  fodomacn  10009  iundom2g  10493  ptclsg  23502