MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni3 10085
Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acni3.1 (𝑦 = (𝑔𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
acni3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝐴   𝜑,𝑔   𝜓,𝑦   𝑔,𝑋,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem acni3
StepHypRef Expression
1 rabn0 4395 . . . . . 6 ({𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑋 𝜑)
21biimpri 228 . . . . 5 (∃𝑦𝑋 𝜑 → {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅)
3 ssrab2 4090 . . . . 5 {𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋
42, 3jctil 519 . . . 4 (∃𝑦𝑋 𝜑 → ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅))
54ralimi 3081 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑 → ∀𝑥𝐴 ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅))
6 acni2 10084 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ({𝑦𝑋𝜑} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑋𝜑} ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}))
75, 6sylan2 593 . 2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}))
8 acni3.1 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑔𝑥) → (𝜑𝜓))
98elrab 3695 . . . . . 6 ((𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} ↔ ((𝑔𝑥) ∈ 𝑋𝜓))
109simprbi 496 . . . . 5 ((𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} → 𝜓)
1110ralimi 3081 . . . 4 (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑} → ∀𝑥𝐴 𝜓)
1211anim2i 617 . . 3 ((𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}) → (𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
1312eximi 1832 . 2 (∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ {𝑦𝑋𝜑}) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
147, 13syl 17 1 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑋 𝜑) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  c0 4339  wf 6559  cfv 6563  AC wacn 9976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-acn 9980
This theorem is referenced by:  fodomacn  10094  iundom2g  10578  ptclsg  23639
  Copyright terms: Public domain W3C validator