Theorem addclnq 10942

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpqnq 10935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
2		elpqn 10922	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
3		elpqn 10922	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → 𝐵 ∈ (N × N))
4		addpqf 10941	. . . . 5 ⊢ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
5	4	fovcl 7533	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N))
6	2, 3, 5	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N))
7		nqercl 10928	. . 3 ⊢ ((𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N) → ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) ∈ Q)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) ∈ Q)
9	1, 8	eqeltrd 2827	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   × cxp 5667  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Ncnpi 10841   +_pQ cplpq 10845  Qcnq 10849  [Q]cerq 10851   +_Q cplq 10852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-1nq 10913

This theorem is referenced by:  halfnq  10973  plpv  11007  dmplp  11009  addclprlem2  11014  addclpr  11015  addasspr  11019  distrlem1pr  11022  distrlem4pr  11023  distrlem5pr  11024  ltaddpr  11031  ltexprlem6  11038  ltexprlem7  11039  prlem936  11044