Theorem addclnq 10866

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpqnq 10859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
2		elpqn 10846	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
3		elpqn 10846	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → 𝐵 ∈ (N × N))
4		addpqf 10865	. . . . 5 ⊢ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
5	4	fovcl 7491	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N))
6	2, 3, 5	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N))
7		nqercl 10852	. . 3 ⊢ ((𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N) → ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) ∈ Q)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) ∈ Q)
9	1, 8	eqeltrd 2840	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   × cxp 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Ncnpi 10765   +_pQ cplpq 10769  Qcnq 10773  [Q]cerq 10775   +_Q cplq 10776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-ni 10793  df-pli 10794  df-mi 10795  df-lti 10796  df-plpq 10829  df-enq 10832  df-nq 10833  df-erq 10834  df-plq 10835  df-1nq 10837

This theorem is referenced by:  halfnq  10897  plpv  10931  dmplp  10933  addclprlem2  10938  addclpr  10939  addasspr  10943  distrlem1pr  10946  distrlem4pr  10947  distrlem5pr  10948  ltaddpr  10955  ltexprlem6  10962  ltexprlem7  10963  prlem936  10968