Theorem addclnq 10898

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpqnq 10891	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
2		elpqn 10878	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
3		elpqn 10878	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → 𝐵 ∈ (N × N))
4		addpqf 10897	. . . . 5 ⊢ +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
5	4	fovcl 7518	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N))
6	2, 3, 5	syl2an 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N))
7		nqercl 10884	. . 3 ⊢ ((𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N) → ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) ∈ Q)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) ∈ Q)
9	1, 8	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   × cxp 5643  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Ncnpi 10797   +_pQ cplpq 10801  Qcnq 10805  [Q]cerq 10807   +_Q cplq 10808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-ni 10825  df-pli 10826  df-mi 10827  df-lti 10828  df-plpq 10861  df-enq 10864  df-nq 10865  df-erq 10866  df-plq 10867  df-1nq 10869

This theorem is referenced by:  halfnq  10929  plpv  10963  dmplp  10965  addclprlem2  10970  addclpr  10971  addasspr  10975  distrlem1pr  10978  distrlem4pr  10979  distrlem5pr  10980  ltaddpr  10987  ltexprlem6  10994  ltexprlem7  10995  prlem936  11000