MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclnq 10356
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclnq ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq
StepHypRef Expression
1 addpqnq 10349 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)))
2 elpqn 10336 . . . 4 (𝐴Q𝐴 ∈ (N × N))
3 elpqn 10336 . . . 4 (𝐵Q𝐵 ∈ (N × N))
4 addpqf 10355 . . . . 5 +pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
54fovcl 7263 . . . 4 ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N))
62, 3, 5syl2an 598 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N))
7 nqercl 10342 . . 3 ((𝐴 +pQ 𝐵) ∈ (N × N) → ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) ∈ Q)
86, 7syl 17 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ([Q]‘(𝐴 +pQ 𝐵)) ∈ Q)
91, 8eqeltrd 2914 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114   × cxp 5530  cfv 6334  (class class class)co 7140  Ncnpi 10255   +pQ cplpq 10259  Qcnq 10263  [Q]cerq 10265   +Q cplq 10266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-1nq 10327
This theorem is referenced by:  halfnq  10387  plpv  10421  dmplp  10423  addclprlem2  10428  addclpr  10429  addasspr  10433  distrlem1pr  10436  distrlem4pr  10437  distrlem5pr  10438  ltaddpr  10445  ltexprlem6  10452  ltexprlem7  10453  prlem936  10458
  Copyright terms: Public domain W3C validator