Theorem fvresd 6794

Description: The value of a restricted function, deduction version of fvres 6793. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvresd	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		fvres 6793	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-res 5601  df-iota 6391  df-fv 6441

This theorem is referenced by:  fvressn  7034  fvsnun1  7054  fvsnun2  7055  fsnunfv  7059  resfvresima  7111  ovres  7438  curry1  7944  curry2  7947  frrlem4  8105  frrlem12  8113  smores  8183  smores2  8185  tz7.44-2  8238  seqomlem1  8281  seqomlem4  8284  onasuc  8358  onmsuc  8359  onesuc  8360  ordtypelem4  9280  ordtypelem6  9282  ordtypelem7  9283  unxpwdom2  9347  cantnfres  9435  cantnfp1lem3  9438  ttrclss  9478  dfac12lem1  9899  ackbij2lem2  9996  cfsmolem  10026  ttukeylem3  10267  fpwwe2lem5  10391  fpwwe2lem8  10394  canthp1lem2  10409  addpqnq  10694  mulpqnq  10697  seqf1olem2  13763  seqcoll  14178  rlimres  15267  lo1res  15268  isercolllem3  15378  ackbijnn  15540  bitsf1  16153  sadcaddlem  16164  sadaddlem  16173  sadasslem  16177  sadeq  16179  eucalgcvga  16291  eucalg  16292  funcres  17611  1stf1  17909  2ndf1  17912  1stfcl  17914  2ndfcl  17915  prf1st  17921  prf2nd  17922  1st2ndprf  17923  uncf2  17955  diag12  17962  diag2  17963  curf2ndf  17965  yonedalem22  17996  lubval  18074  glbval  18087  gsumsplit1r  18371  resmhm  18459  resghm  18850  efgsres  19344  efgredlemd  19350  efgredlem  19353  dprdres  19631  dmdprdsplit2lem  19648  abvres  20099  reslmhm  20314  psgndiflemB  20805  cnpresti  22439  cnprest  22440  upxp  22774  uptx  22776  txkgen  22803  remetdval  23952  lmcau  24477  dvreslem  25073  dvres2lem  25074  dvlip2  25159  c1liplem1  25160  dvgt0lem1  25166  lhop1lem  25177  dvcnvrelem1  25181  dvcvx  25184  psercn  25585  efcvx  25608  reefgim  25609  resinf1o  25692  efif1olem4  25701  eff1olem  25704  eflog  25732  logcn  25802  loglesqrt  25911  asinrebnd  26051  jensen  26138  amgmlem  26139  lgamgulmlem2  26179  dvdsmulf1o  26343  dchrabs  26408  sum2dchr  26422  uhgrspansubgrlem  27657  wlkres  28038  redwlk  28040  ofresid  30979  2ndresdju  30986  fdifsuppconst  31023  ressupprn  31024  fsuppcurry1  31060  fsuppcurry2  31061  mgcf1o  31281  gsumpart  31315  gsumhashmul  31316  tocyccntz  31411  dimkerim  31708  zarcmplem  31831  measres  32190  ftc2re  32578  reprsuc  32595  bnj1379  32810  pfxwlk  33085  subgrwlk  33094  satom  33318  nolesgn2o  33874  nolesgn2ores  33875  nogesgn1o  33876  nogesgn1ores  33877  noresle  33900  nosupprefixmo  33903  noinfprefixmo  33904  nosupres  33910  nosupbnd2lem1  33918  noinfres  33925  noinfbnd2lem1  33933  noetasuplem4  33939  noetainflem4  33943  addsval  34126  bj-fvsnun1  35426  fnwe2lem3  40877  wessf1ornlem  42722  limcperiod  43169  limclner  43192  limsupresxr  43307  liminfresxr  43308  cncfperiod  43420  sssmf  44274  fcores  44561  rhmsubclem2  45645  rhmsubcALTVlem2  45663