Theorem axsup 10981

Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-sup 10880 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-sup 10880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧)))
2	1	3expia 1119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))))
3		ssel2 3912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
4		ltxrlt 10976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
5	3, 4	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
6	5	an32s 648	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
7	6	ralbidva 3119	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥))
8	7	rexbidva 3224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥))
10		ltxrlt 10976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 <ℝ 𝑦))
11	10	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 <ℝ 𝑦))
12	3, 11	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 <ℝ 𝑦))
13	12	an32s 648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 <ℝ 𝑦))
14	13	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦))
15	14	ralbidva 3119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦))
16	4	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
17	16	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
18		ssel2 3912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
19		ltxrlt 10976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑧))
20	19	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑧))
21	18, 20	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑧))
22	21	an32s 648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑧))
23	22	rexbidva 3224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))
24	23	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))
25	17, 24	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧)))
26	25	ralbidva 3119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧)))
27	15, 26	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))))
28	27	rexbidva 3224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 293	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
31	30	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   <_ℝ cltrr 10806   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  dedekind  11068  sup2  11861  sn-sup2  40360