Theorem axsup 11273

Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-sup 11166 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-sup 11166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧)))
2	1	3expia 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))))
3		ssel2 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
4		ltxrlt 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
5	3, 4	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
6	5	an32s 664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
7	6	ralbidva 3186	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥))
8	7	rexbidva 3187	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥))
9	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑥))
10		ltxrlt 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 <ℝ 𝑦))
11	10	ancoms 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 <ℝ 𝑦))
12	3, 11	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 <ℝ 𝑦))
13	12	an32s 664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 <ℝ 𝑦))
14	13	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦))
15	14	ralbidva 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦))
16	4	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
17	16	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑥))
18		ssel2 3934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
19		ltxrlt 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑧))
20	19	ancoms 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑧))
21	18, 20	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑧))
22	21	an32s 664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 <ℝ 𝑧))
23	22	rexbidva 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))
24	23	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))
25	17, 24	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧)))
26	25	ralbidva 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧)))
27	15, 26	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))))
28	27	rexbidva 3187	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))))
29	28	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <ℝ 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 <ℝ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <ℝ 𝑧))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
31	30	3impia 1133	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5105  ℝcr 11087   <_ℝ cltrr 11092   < clt 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236

This theorem is referenced by:  dedekind  11361  sup2  12162  sn-sup2  43125