Theorem dedekind 11337

Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 11146 with appropriate adjustments, states that, if 𝐴 completely preceeds 𝐵, then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dedekind	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dedekind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)
2		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)
3		nfra1 3261	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦
4	1, 2, 3	nf3an 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
5		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6		nfra1 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥
7		nfra1 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)
8	6, 7	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
9	5, 8	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
10	4, 9	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))))
11		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)
12		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)
13		nfra2w 3274	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦
14	11, 12, 13	nf3an 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
15		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
16	14, 15	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))))
17		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
18		simpl2l 1227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	18	sselda 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
21		simprrl 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥)
22	21	r19.21bi 3229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 < 𝑥)
23	19, 20, 22	nltled 11324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑧)
24	23	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝑧))
25		simprll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
26		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ⊆ ℝ)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
28		ssel2 3941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
31		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ))
32		rsp 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 < 𝑦))
33	32	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
35		ssel2 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
36	35	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ)
38	37	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
39		ltnsym 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
40	36, 38, 39	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
41	34, 40	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
42	41	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
43	42	ralimdva 3145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
44	31, 27, 43	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
45	30, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
46		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑤))
47	46	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑤))
48	47	cbvralvw 3215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤)
49	45, 48	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤)
50		ralnex 3055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
52		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑧))
53		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑤 ↔ 𝑦 < 𝑤))
54	53	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
55	52, 54	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤) ↔ (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
56		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
58	55, 57, 29	rspcdva 3589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
59	51, 58	mtod 198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝑧)
60	25, 29, 59	nltled 11324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝑦)
61	60	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑧 ≤ 𝑦))
62	24, 61	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
63	62	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))))
64	16, 17, 63	ralrimd 3242	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
65	10, 64	ralrimi 3235	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
66		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
67		simp1l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
68		simp1r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
69		n0 4316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
70	68, 69	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
71	26	sseld 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
72		ralcom 3265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
73		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑧))
74	73	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
75	74	rspccv 3585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
76	72, 75	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
77	76	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
78	71, 77	jcad 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)))
79	78	eximdv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)))
80	70, 79	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
81		df-rex 3054	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
82	80, 81	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)
83		axsup 11249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
84	66, 67, 82, 83	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
85	65, 84	reximddv 3149	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
86	85	3expib 1122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
87		1re 11174	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
88		rzal 4472	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
89		breq2 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 1))
90		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
91	89, 90	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)))
92	91	2ralbidv 3201	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)))
93	92	rspcev 3588	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
94	87, 88, 93	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
95	94	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
96		rzal 4472	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
97	96	ralrimivw 3129	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
98	87, 97, 93	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
99	98	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
100	86, 95, 99	pm2.61iine 3015	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
101	100	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  1c1 11069   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

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