Theorem dedekind 10792

Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 10604 with appropriate adjustments, states that, if 𝐴 completely preceeds 𝐵, then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dedekind	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dedekind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)
2		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)
3		nfra1 3183	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦
4	1, 2, 3	nf3an 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
5		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6		nfra1 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥
7		nfra1 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)
8	6, 7	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
9	5, 8	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
10	4, 9	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))))
11		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)
12		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)
13		nfra2w 3191	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦
14	11, 12, 13	nf3an 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
15		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
16	14, 15	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))))
17		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
18		simpl2l 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	18	sselda 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
21		simprrl 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥)
22	21	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 < 𝑥)
23	19, 20, 22	nltled 10779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑧)
24	23	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝑧))
25		simprll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
26		simp2r 1197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ⊆ ℝ)
27		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
28		ssel2 3910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30		simpl3 1190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
31		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ))
32		rsp 3170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 < 𝑦))
33	32	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
34	33	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
35		ssel2 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
36	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ)
38	37	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
39		ltnsym 10727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
40	36, 38, 39	syl2an2r 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
41	34, 40	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
42	41	an32s 651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
43	42	ralimdva 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
44	31, 27, 43	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
45	30, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
46		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑤))
47	46	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑤))
48	47	cbvralvw 3396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤)
49	45, 48	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤)
50		ralnex 3199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
51	49, 50	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
52		breq1 5033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑧))
53		breq1 5033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑤 ↔ 𝑦 < 𝑤))
54	53	rexbidv 3256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
55	52, 54	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤) ↔ (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
56		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
57	56	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
58	55, 57, 29	rspcdva 3573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
59	51, 58	mtod 201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝑧)
60	25, 29, 59	nltled 10779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝑦)
61	60	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑧 ≤ 𝑦))
62	24, 61	anim12d 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
63	62	expd 419	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))))
64	16, 17, 63	ralrimd 3182	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
65	10, 64	ralrimi 3180	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
66		simp2l 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
67		simp1l 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
68		simp1r 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
69		n0 4260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
70	68, 69	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
71	26	sseld 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
72		ralcom 3307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
73		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑧))
74	73	ralbidv 3162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
75	74	rspccv 3568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
76	72, 75	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
77	76	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
78	71, 77	jcad 516	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)))
79	78	eximdv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)))
80	70, 79	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
81		df-rex 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
82	80, 81	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)
83		axsup 10705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
84	66, 67, 82, 83	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
85	65, 84	reximddv 3234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
86	85	3expib 1119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
87		1re 10630	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
88		rzal 4411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
89		breq2 5034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 1))
90		breq1 5033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
91	89, 90	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)))
92	91	2ralbidv 3164	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)))
93	92	rspcev 3571	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
94	87, 88, 93	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
95	94	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
96		rzal 4411	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
97	96	ralrimivw 3150	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
98	87, 97, 93	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
99	98	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
100	86, 95, 99	pm2.61iine 3077	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
101	100	3impa 1107	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  1c1 10527   < clt 10664   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670

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