Theorem dedekind 11388

Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 11193 with appropriate adjustments, states that, if 𝐴 completely preceeds 𝐵, then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dedekind	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dedekind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)
2		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)
3		nfra1 3291	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦
4	1, 2, 3	nf3an 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
5		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
6		nfra1 3291	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥
7		nfra1 3291	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)
8	6, 7	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
9	5, 8	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
10	4, 9	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))))
11		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)
12		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)
13		nfra2w 3303	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦
14	11, 12, 13	nf3an 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
15		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
16	14, 15	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))))
17		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
18		simpl2l 1245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19	18	sselda 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		simplrl 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
21		simprrl 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥)
22	21	r19.21bi 3259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 < 𝑥)
23	19, 20, 22	nltled 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑧)
24	23	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝑧))
25		simprll 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
26		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ⊆ ℝ)
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
28		ssel2 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
31		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ))
32		rsp 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 < 𝑦))
33	32	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
35		ssel2 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
36	35	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
37		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ)
38	37	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
39		ltnsym 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
40	36, 38, 39	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
41	34, 40	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
42	41	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
43	42	ralimdva 3179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
44	31, 27, 43	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
45	30, 44	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
46		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑤))
47	46	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑤))
48	47	cbvralvw 3245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤)
49	45, 48	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤)
50		ralnex 3093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
51	49, 50	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)
52		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑧))
53		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑤 ↔ 𝑦 < 𝑤))
54	53	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
55	52, 54	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤) ↔ (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤)))
56		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))
58	55, 57, 29	rspcdva 3584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑤))
59	51, 58	mtod 201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑦 < 𝑧)
60	25, 29, 59	nltled 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝑦)
61	60	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑧 ≤ 𝑦))
62	24, 61	anim12d 621	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
63	62	expd 421	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))))
64	16, 17, 63	ralrimd 3272	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
65	10, 64	ralrimi 3265	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
66		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
67		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
68		simp1r 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ≠ ∅)
69		n0 4307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
70	68, 69	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
71	26	sseld 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ ℝ))
72		ralcom 3295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
73		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑧))
74	73	ralbidv 3190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
75	74	rspccv 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
76	72, 75	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
77	76	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
78	71, 77	jcad 522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)))
79	78	eximdv 1950	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)))
80	70, 79	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
81		df-rex 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧))
82	80, 81	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧)
83		axsup 11300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
84	66, 67, 82, 83	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑤)))
85	65, 84	reximddv 3183	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
86	85	3expib 1140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
87		1re 11223	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
88		rzal 4457	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
89		breq2 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 1))
90		breq1 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
91	89, 90	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)))
92	91	2ralbidv 3231	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)))
93	92	rspcev 3583	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
94	87, 88, 93	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
95	94	a1d 26	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
96		rzal 4457	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
97	96	ralrimivw 3163	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑦))
98	87, 97, 93	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
99	98	a1d 26	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
100	86, 95, 99	pm2.61iine 3050	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
101	100	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ℝcr 11114  1c1 11116   < clt 11258   ≤ cle 11259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264

This theorem is used by:  dedekindle  11389