Theorem lttr 11222

Description: Alias for axlttrn 11218, for naming consistency with lttri 11272. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11113. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11218	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  ltso  11226  lelttr  11236  ltletr  11238  lttri  11272  lttrd  11307  lt2sub  11648  mulgt1OLD  12014  recgt1i  12053  recreclt  12055  sup2  12112  nnge1  12205  recnz  12604  gtndiv  12606  xrlttr  13091  fzo1fzo0n0  13670  flflp1  13766  1mod  13862  seqf1olem1  14003  expnbnd  14194  expnlbnd  14195  swrd2lsw  14914  2swrd2eqwrdeq  14915  sin01gt0  16157  cos01gt0  16158  p1modz1  16228  ltoddhalfle  16330  nno  16351  dvdsnprmd  16659  chfacfscmul0  22823  chfacfpmmul0  22827  iscmet3lem1  25258  bcthlem4  25294  bcthlem5  25295  ivthlem2  25419  ovolicc2lem3  25486  mbfaddlem  25627  reeff1olem  26411  logdivlti  26584  ftalem2  27037  chtub  27175  bclbnd  27243  efexple  27244  bposlem1  27247  lgsquadlem2  27344  pntlem3  27572  axlowdimlem16  29026  pthdlem1  29834  wwlksnredwwlkn  29963  clwwlkel  30116  clwwlknonex2lem2  30178  frgrogt3nreg  30467  poimirlem2  37943  sn-sup2  42936  stoweidlem34  46462  m1mod0mod1  47808  smonoord  47825  muldvdsfacgt  47834  muldvdsfacm1  47835  sbgoldbalt  48257  bgoldbtbndlem3  48283  bgoldbtbndlem4  48284  tgoldbach  48293  regt1loggt0  49012  rege1logbrege0  49034  dignn0flhalflem1  49091