Theorem lttr 11311

Description: Alias for axlttrn 11307, for naming consistency with lttri 11361. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11204. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   < clt 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  ltso  11315  lelttr  11325  ltletr  11327  lttri  11361  lttrd  11396  lt2sub  11735  mulgt1OLD  12100  recgt1i  12139  recreclt  12141  sup2  12198  nnge1  12268  recnz  12668  gtndiv  12670  xrlttr  13156  fzo1fzo0n0  13731  flflp1  13824  1mod  13920  seqf1olem1  14059  expnbnd  14250  expnlbnd  14251  swrd2lsw  14971  2swrd2eqwrdeq  14972  sin01gt0  16208  cos01gt0  16209  p1modz1  16279  ltoddhalfle  16380  nno  16401  dvdsnprmd  16709  chfacfscmul0  22796  chfacfpmmul0  22800  iscmet3lem1  25243  bcthlem4  25279  bcthlem5  25280  ivthlem2  25405  ovolicc2lem3  25472  mbfaddlem  25613  reeff1olem  26408  logdivlti  26581  ftalem2  27036  chtub  27175  bclbnd  27243  efexple  27244  bposlem1  27247  lgsquadlem2  27344  pntlem3  27572  axlowdimlem16  28936  pthdlem1  29748  wwlksnredwwlkn  29877  clwwlkel  30027  clwwlknonex2lem2  30089  frgrogt3nreg  30378  poimirlem2  37646  sn-sup2  42514  stoweidlem34  46063  m1mod0mod1  47383  smonoord  47385  sbgoldbalt  47795  bgoldbtbndlem3  47821  bgoldbtbndlem4  47822  tgoldbach  47831  difmodm1lt  48502  regt1loggt0  48516  rege1logbrege0  48538  dignn0flhalflem1  48595