Theorem lttr 11286

Description: Alias for axlttrn 11282, for naming consistency with lttri 11336. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11181. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ℝcr 11105   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  ltso  11290  lelttr  11300  ltletr  11302  lttri  11336  lttrd  11371  lt2sub  11708  mulgt1  12069  recgt1i  12107  recreclt  12109  sup2  12166  nnge1  12236  recnz  12633  gtndiv  12635  xrlttr  13115  fzo1fzo0n0  13679  flflp1  13768  1mod  13864  seqf1olem1  14003  expnbnd  14191  expnlbnd  14192  swrd2lsw  14899  2swrd2eqwrdeq  14900  sin01gt0  16129  cos01gt0  16130  p1modz1  16200  ltoddhalfle  16300  nno  16321  dvdsnprmd  16623  chfacfscmul0  22351  chfacfpmmul0  22355  iscmet3lem1  24799  bcthlem4  24835  bcthlem5  24836  ivthlem2  24960  ovolicc2lem3  25027  mbfaddlem  25168  reeff1olem  25949  logdivlti  26119  ftalem2  26567  chtub  26704  bclbnd  26772  efexple  26773  bposlem1  26776  lgsquadlem2  26873  pntlem3  27101  axlowdimlem16  28204  pthdlem1  29012  wwlksnredwwlkn  29138  clwwlkel  29288  clwwlknonex2lem2  29350  frgrogt3nreg  29639  poimirlem2  36478  sn-sup2  41338  stoweidlem34  44736  m1mod0mod1  46023  smonoord  46025  sbgoldbalt  46435  bgoldbtbndlem3  46461  bgoldbtbndlem4  46462  tgoldbach  46471  difmodm1lt  47161  regt1loggt0  47175  rege1logbrege0  47197  dignn0flhalflem1  47254