Theorem lttr 10982

Description: Alias for axlttrn 10978, for naming consistency with lttri 11031. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 10877. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 10978	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  ltso  10986  lelttr  10996  ltletr  10997  lttri  11031  lttrd  11066  lt2sub  11403  mulgt1  11764  recgt1i  11802  recreclt  11804  sup2  11861  nnge1  11931  recnz  12325  gtndiv  12327  xrlttr  12803  fzo1fzo0n0  13366  flflp1  13455  1mod  13551  seqf1olem1  13690  expnbnd  13875  expnlbnd  13876  swrd2lsw  14593  2swrd2eqwrdeq  14594  sin01gt0  15827  cos01gt0  15828  p1modz1  15898  ltoddhalfle  15998  nno  16019  dvdsnprmd  16323  chfacfscmul0  21915  chfacfpmmul0  21919  iscmet3lem1  24360  bcthlem4  24396  bcthlem5  24397  ivthlem2  24521  ovolicc2lem3  24588  mbfaddlem  24729  reeff1olem  25510  logdivlti  25680  ftalem2  26128  chtub  26265  bclbnd  26333  efexple  26334  bposlem1  26337  lgsquadlem2  26434  pntlem3  26662  axlowdimlem16  27228  pthdlem1  28035  wwlksnredwwlkn  28161  clwwlkel  28311  clwwlknonex2lem2  28373  frgrogt3nreg  28662  poimirlem2  35706  sn-sup2  40360  stoweidlem34  43465  m1mod0mod1  44709  smonoord  44711  sbgoldbalt  45121  bgoldbtbndlem3  45147  bgoldbtbndlem4  45148  tgoldbach  45157  difmodm1lt  45756  regt1loggt0  45770  rege1logbrege0  45792  dignn0flhalflem1  45849