Theorem lttr 11213

Description: Alias for axlttrn 11209, for naming consistency with lttri 11263. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11104. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11209	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11028   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  ltso  11217  lelttr  11227  ltletr  11229  lttri  11263  lttrd  11298  lt2sub  11639  mulgt1OLD  12005  recgt1i  12044  recreclt  12046  sup2  12103  nnge1  12196  recnz  12595  gtndiv  12597  xrlttr  13082  fzo1fzo0n0  13661  flflp1  13757  1mod  13853  seqf1olem1  13994  expnbnd  14185  expnlbnd  14186  swrd2lsw  14905  2swrd2eqwrdeq  14906  sin01gt0  16148  cos01gt0  16149  p1modz1  16219  ltoddhalfle  16321  nno  16342  dvdsnprmd  16650  chfacfscmul0  22833  chfacfpmmul0  22837  iscmet3lem1  25268  bcthlem4  25304  bcthlem5  25305  ivthlem2  25429  ovolicc2lem3  25496  mbfaddlem  25637  reeff1olem  26424  logdivlti  26597  ftalem2  27051  chtub  27189  bclbnd  27257  efexple  27258  bposlem1  27261  lgsquadlem2  27358  pntlem3  27586  axlowdimlem16  29040  pthdlem1  29849  wwlksnredwwlkn  29978  clwwlkel  30131  clwwlknonex2lem2  30193  frgrogt3nreg  30482  poimirlem2  37957  sn-sup2  42950  stoweidlem34  46480  m1mod0mod1  47820  smonoord  47837  muldvdsfacgt  47846  muldvdsfacm1  47847  sbgoldbalt  48269  bgoldbtbndlem3  48295  bgoldbtbndlem4  48296  tgoldbach  48305  regt1loggt0  49024  rege1logbrege0  49046  dignn0flhalflem1  49103