Theorem lttr 11304

Description: Alias for axlttrn 11300, for naming consistency with lttri 11354. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11193. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11300	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ℝcr 11117   < clt 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266

This theorem is used by:  ltso  11308  lelttr  11318  ltletr  11320  lttri  11354  lttrd  11389  lt2sub  11730  recgt1i  12130  recreclt  12132  sup2  12189  nnge1  12282  recnz  12689  gtndiv  12691  xrlttr  13183  fzo1fzo0n0  13763  flflp1  13860  1mod  13956  seqf1olem1  14097  expnbnd  14288  expnlbnd  14289  swrd2lsw  15015  2swrd2eqwrdeq  15016  sin01gt0  16271  cos01gt0  16272  p1modz1  16342  ltoddhalfle  16444  nno  16465  dvdsnprmd  16773  chfacfscmul0  23052  chfacfpmmul0  23056  iscmet3lem1  25487  bcthlem4  25523  bcthlem5  25524  ivthlem2  25648  ovolicc2lem3  25715  mbfaddlem  25856  reeff1olem  26646  logdivlti  26822  ftalem2  27275  chtub  27413  bclbnd  27481  efexple  27482  bposlem1  27485  lgsquadlem2  27582  pntlem3  27810  axlowdimlem16  29344  pthdlem1  30152  wwlksnredwwlkn  30281  clwwlkel  30434  clwwlknonex2lem2  30496  frgrogt3nreg  30785  poimirlem2  38314  sn-sup2  43306  stoweidlem34  46789  m1mod0mod1  48138  smonoord  48155  muldvdsfacgt  48164  muldvdsfacm1  48165  sbgoldbalt  48587  bgoldbtbndlem3  48613  bgoldbtbndlem4  48614  tgoldbach  48623  regt1loggt0  49357  rege1logbrege0  49379  dignn0flhalflem1  49436