Theorem lttr 11290

Description: Alias for axlttrn 11286, for naming consistency with lttri 11340. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11185. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  ltso  11294  lelttr  11304  ltletr  11306  lttri  11340  lttrd  11375  lt2sub  11712  mulgt1  12073  recgt1i  12111  recreclt  12113  sup2  12170  nnge1  12240  recnz  12637  gtndiv  12639  xrlttr  13119  fzo1fzo0n0  13683  flflp1  13772  1mod  13868  seqf1olem1  14007  expnbnd  14195  expnlbnd  14196  swrd2lsw  14903  2swrd2eqwrdeq  14904  sin01gt0  16133  cos01gt0  16134  p1modz1  16204  ltoddhalfle  16304  nno  16325  dvdsnprmd  16627  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  iscmet3lem1  24808  bcthlem4  24844  bcthlem5  24845  ivthlem2  24969  ovolicc2lem3  25036  mbfaddlem  25177  reeff1olem  25958  logdivlti  26128  ftalem2  26578  chtub  26715  bclbnd  26783  efexple  26784  bposlem1  26787  lgsquadlem2  26884  pntlem3  27112  axlowdimlem16  28215  pthdlem1  29023  wwlksnredwwlkn  29149  clwwlkel  29299  clwwlknonex2lem2  29361  frgrogt3nreg  29650  poimirlem2  36490  sn-sup2  41342  stoweidlem34  44750  m1mod0mod1  46037  smonoord  46039  sbgoldbalt  46449  bgoldbtbndlem3  46475  bgoldbtbndlem4  46476  tgoldbach  46485  difmodm1lt  47208  regt1loggt0  47222  rege1logbrege0  47244  dignn0flhalflem1  47301