Theorem lttr 11189

Description: Alias for axlttrn 11185, for naming consistency with lttri 11239. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11081. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11185	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ℝcr 11005   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151

This theorem is referenced by:  ltso  11193  lelttr  11203  ltletr  11205  lttri  11239  lttrd  11274  lt2sub  11615  mulgt1OLD  11980  recgt1i  12019  recreclt  12021  sup2  12078  nnge1  12153  recnz  12548  gtndiv  12550  xrlttr  13039  fzo1fzo0n0  13615  flflp1  13711  1mod  13807  seqf1olem1  13948  expnbnd  14139  expnlbnd  14140  swrd2lsw  14859  2swrd2eqwrdeq  14860  sin01gt0  16099  cos01gt0  16100  p1modz1  16170  ltoddhalfle  16272  nno  16293  dvdsnprmd  16601  chfacfscmul0  22773  chfacfpmmul0  22777  iscmet3lem1  25218  bcthlem4  25254  bcthlem5  25255  ivthlem2  25380  ovolicc2lem3  25447  mbfaddlem  25588  reeff1olem  26383  logdivlti  26556  ftalem2  27011  chtub  27150  bclbnd  27218  efexple  27219  bposlem1  27222  lgsquadlem2  27319  pntlem3  27547  axlowdimlem16  28935  pthdlem1  29744  wwlksnredwwlkn  29873  clwwlkel  30026  clwwlknonex2lem2  30088  frgrogt3nreg  30377  poimirlem2  37661  sn-sup2  42583  stoweidlem34  46131  m1mod0mod1  47453  smonoord  47470  sbgoldbalt  47880  bgoldbtbndlem3  47906  bgoldbtbndlem4  47907  tgoldbach  47916  regt1loggt0  48636  rege1logbrege0  48658  dignn0flhalflem1  48715