Theorem lttr 11051

Description: Alias for axlttrn 11047, for naming consistency with lttri 11101. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 10946. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11047	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  ltso  11055  lelttr  11065  ltletr  11067  lttri  11101  lttrd  11136  lt2sub  11473  mulgt1  11834  recgt1i  11872  recreclt  11874  sup2  11931  nnge1  12001  recnz  12395  gtndiv  12397  xrlttr  12874  fzo1fzo0n0  13438  flflp1  13527  1mod  13623  seqf1olem1  13762  expnbnd  13947  expnlbnd  13948  swrd2lsw  14665  2swrd2eqwrdeq  14666  sin01gt0  15899  cos01gt0  15900  p1modz1  15970  ltoddhalfle  16070  nno  16091  dvdsnprmd  16395  chfacfscmul0  22007  chfacfpmmul0  22011  iscmet3lem1  24455  bcthlem4  24491  bcthlem5  24492  ivthlem2  24616  ovolicc2lem3  24683  mbfaddlem  24824  reeff1olem  25605  logdivlti  25775  ftalem2  26223  chtub  26360  bclbnd  26428  efexple  26429  bposlem1  26432  lgsquadlem2  26529  pntlem3  26757  axlowdimlem16  27325  pthdlem1  28134  wwlksnredwwlkn  28260  clwwlkel  28410  clwwlknonex2lem2  28472  frgrogt3nreg  28761  poimirlem2  35779  sn-sup2  40439  stoweidlem34  43575  m1mod0mod1  44821  smonoord  44823  sbgoldbalt  45233  bgoldbtbndlem3  45259  bgoldbtbndlem4  45260  tgoldbach  45269  difmodm1lt  45868  regt1loggt0  45882  rege1logbrege0  45904  dignn0flhalflem1  45961