Theorem lttr 11186

Description: Alias for axlttrn 11182, for naming consistency with lttri 11236. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11078. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ℝcr 11002   < clt 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148

This theorem is referenced by:  ltso  11190  lelttr  11200  ltletr  11202  lttri  11236  lttrd  11271  lt2sub  11612  mulgt1OLD  11977  recgt1i  12016  recreclt  12018  sup2  12075  nnge1  12150  recnz  12545  gtndiv  12547  xrlttr  13036  fzo1fzo0n0  13612  flflp1  13708  1mod  13804  seqf1olem1  13945  expnbnd  14136  expnlbnd  14137  swrd2lsw  14856  2swrd2eqwrdeq  14857  sin01gt0  16096  cos01gt0  16097  p1modz1  16167  ltoddhalfle  16269  nno  16290  dvdsnprmd  16598  chfacfscmul0  22771  chfacfpmmul0  22775  iscmet3lem1  25216  bcthlem4  25252  bcthlem5  25253  ivthlem2  25378  ovolicc2lem3  25445  mbfaddlem  25586  reeff1olem  26381  logdivlti  26554  ftalem2  27009  chtub  27148  bclbnd  27216  efexple  27217  bposlem1  27220  lgsquadlem2  27317  pntlem3  27545  axlowdimlem16  28933  pthdlem1  29742  wwlksnredwwlkn  29871  clwwlkel  30021  clwwlknonex2lem2  30083  frgrogt3nreg  30372  poimirlem2  37661  sn-sup2  42523  stoweidlem34  46071  m1mod0mod1  47384  smonoord  47401  sbgoldbalt  47811  bgoldbtbndlem3  47837  bgoldbtbndlem4  47838  tgoldbach  47847  regt1loggt0  48567  rege1logbrege0  48589  dignn0flhalflem1  48646