Theorem lttr 11335

Description: Alias for axlttrn 11331, for naming consistency with lttri 11385. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11228. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11331	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  ltso  11339  lelttr  11349  ltletr  11351  lttri  11385  lttrd  11420  lt2sub  11759  mulgt1OLD  12124  recgt1i  12163  recreclt  12165  sup2  12222  nnge1  12292  recnz  12691  gtndiv  12693  xrlttr  13179  fzo1fzo0n0  13751  flflp1  13844  1mod  13940  seqf1olem1  14079  expnbnd  14268  expnlbnd  14269  swrd2lsw  14988  2swrd2eqwrdeq  14989  sin01gt0  16223  cos01gt0  16224  p1modz1  16294  ltoddhalfle  16395  nno  16416  dvdsnprmd  16724  chfacfscmul0  22880  chfacfpmmul0  22884  iscmet3lem1  25339  bcthlem4  25375  bcthlem5  25376  ivthlem2  25501  ovolicc2lem3  25568  mbfaddlem  25709  reeff1olem  26505  logdivlti  26677  ftalem2  27132  chtub  27271  bclbnd  27339  efexple  27340  bposlem1  27343  lgsquadlem2  27440  pntlem3  27668  axlowdimlem16  28987  pthdlem1  29799  wwlksnredwwlkn  29925  clwwlkel  30075  clwwlknonex2lem2  30137  frgrogt3nreg  30426  poimirlem2  37609  sn-sup2  42478  stoweidlem34  45990  m1mod0mod1  47294  smonoord  47296  sbgoldbalt  47706  bgoldbtbndlem3  47732  bgoldbtbndlem4  47733  tgoldbach  47742  difmodm1lt  48372  regt1loggt0  48386  rege1logbrege0  48408  dignn0flhalflem1  48465