Theorem lttr 10909

Description: Alias for axlttrn 10905, for naming consistency with lttri 10958. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 10804. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 10905	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ℝcr 10728   < clt 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872

This theorem is referenced by:  ltso  10913  lelttr  10923  ltletr  10924  lttri  10958  lttrd  10993  lt2sub  11330  mulgt1  11691  recgt1i  11729  recreclt  11731  sup2  11788  nnge1  11858  recnz  12252  gtndiv  12254  xrlttr  12730  fzo1fzo0n0  13293  flflp1  13382  1mod  13476  seqf1olem1  13615  expnbnd  13799  expnlbnd  13800  swrd2lsw  14517  2swrd2eqwrdeq  14518  sin01gt0  15751  cos01gt0  15752  p1modz1  15822  ltoddhalfle  15922  nno  15943  dvdsnprmd  16247  chfacfscmul0  21755  chfacfpmmul0  21759  iscmet3lem1  24188  bcthlem4  24224  bcthlem5  24225  ivthlem2  24349  ovolicc2lem3  24416  mbfaddlem  24557  reeff1olem  25338  logdivlti  25508  ftalem2  25956  chtub  26093  bclbnd  26161  efexple  26162  bposlem1  26165  lgsquadlem2  26262  pntlem3  26490  axlowdimlem16  27048  pthdlem1  27853  wwlksnredwwlkn  27979  clwwlkel  28129  clwwlknonex2lem2  28191  frgrogt3nreg  28480  poimirlem2  35516  sn-sup2  40147  stoweidlem34  43250  m1mod0mod1  44494  smonoord  44496  sbgoldbalt  44906  bgoldbtbndlem3  44932  bgoldbtbndlem4  44933  tgoldbach  44942  difmodm1lt  45541  regt1loggt0  45555  rege1logbrege0  45577  dignn0flhalflem1  45634