Theorem lttr 11274

Description: Alias for axlttrn 11270, for naming consistency with lttri 11324. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11163. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11270	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ℝcr 11087   < clt 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236

This theorem is referenced by:  ltso  11278  lelttr  11288  ltletr  11290  lttri  11324  lttrd  11359  lt2sub  11700  recgt1i  12103  recreclt  12105  sup2  12162  nnge1  12255  recnz  12662  gtndiv  12664  xrlttr  13156  fzo1fzo0n0  13735  flflp1  13831  1mod  13927  seqf1olem1  14068  expnbnd  14259  expnlbnd  14260  swrd2lsw  14979  2swrd2eqwrdeq  14980  sin01gt0  16236  cos01gt0  16237  p1modz1  16307  ltoddhalfle  16409  nno  16430  dvdsnprmd  16738  chfacfscmul0  22976  chfacfpmmul0  22980  iscmet3lem1  25411  bcthlem4  25447  bcthlem5  25448  ivthlem2  25572  ovolicc2lem3  25639  mbfaddlem  25780  reeff1olem  26567  logdivlti  26743  ftalem2  27196  chtub  27334  bclbnd  27402  efexple  27403  bposlem1  27406  lgsquadlem2  27503  pntlem3  27731  axlowdimlem16  29216  pthdlem1  30024  wwlksnredwwlkn  30153  clwwlkel  30306  clwwlknonex2lem2  30368  frgrogt3nreg  30657  poimirlem2  38133  sn-sup2  43125  stoweidlem34  46606  m1mod0mod1  47952  smonoord  47969  muldvdsfacgt  47978  muldvdsfacm1  47979  sbgoldbalt  48401  bgoldbtbndlem3  48427  bgoldbtbndlem4  48428  tgoldbach  48437  regt1loggt0  49167  rege1logbrege0  49189  dignn0flhalflem1  49246