Theorem lttr 11196

Description: Alias for axlttrn 11192, for naming consistency with lttri 11246. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11088. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11192	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ℝcr 11012   < clt 11153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158

This theorem is referenced by:  ltso  11200  lelttr  11210  ltletr  11212  lttri  11246  lttrd  11281  lt2sub  11622  mulgt1OLD  11987  recgt1i  12026  recreclt  12028  sup2  12085  nnge1  12160  recnz  12554  gtndiv  12556  xrlttr  13041  fzo1fzo0n0  13617  flflp1  13713  1mod  13809  seqf1olem1  13950  expnbnd  14141  expnlbnd  14142  swrd2lsw  14861  2swrd2eqwrdeq  14862  sin01gt0  16101  cos01gt0  16102  p1modz1  16172  ltoddhalfle  16274  nno  16295  dvdsnprmd  16603  chfacfscmul0  22774  chfacfpmmul0  22778  iscmet3lem1  25219  bcthlem4  25255  bcthlem5  25256  ivthlem2  25381  ovolicc2lem3  25448  mbfaddlem  25589  reeff1olem  26384  logdivlti  26557  ftalem2  27012  chtub  27151  bclbnd  27219  efexple  27220  bposlem1  27223  lgsquadlem2  27320  pntlem3  27548  axlowdimlem16  28937  pthdlem1  29746  wwlksnredwwlkn  29875  clwwlkel  30028  clwwlknonex2lem2  30090  frgrogt3nreg  30379  poimirlem2  37682  sn-sup2  42609  stoweidlem34  46156  m1mod0mod1  47478  smonoord  47495  sbgoldbalt  47905  bgoldbtbndlem3  47931  bgoldbtbndlem4  47932  tgoldbach  47941  regt1loggt0  48661  rege1logbrege0  48683  dignn0flhalflem1  48740