Theorem lttr 10517

Description: Alias for axlttrn 10513, for naming consistency with lttri 10566. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 10410. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 10513	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  ℝcr 10334   < clt 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-pre-lttrn 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479

This theorem is referenced by:  ltso  10521  lelttr  10531  ltletr  10532  lttri  10566  lttrd  10601  lt2sub  10939  mulgt1  11300  recgt1i  11338  recreclt  11340  sup2  11398  nnge1  11468  recnz  11870  gtndiv  11872  xrlttr  12350  fzo1fzo0n0  12903  flflp1  12992  1mod  13086  seqf1olem1  13224  expnbnd  13408  expnlbnd  13409  swrd2lsw  14176  2swrd2eqwrdeq  14177  2swrd2eqwrdeqOLD  14178  sin01gt0  15403  cos01gt0  15404  p1modz1  15474  ltoddhalfle  15570  nno  15593  dvdsnprmd  15890  chfacfscmul0  21170  chfacfpmmul0  21174  iscmet3lem1  23597  bcthlem4  23633  bcthlem5  23634  ivthlem2  23756  ovolicc2lem3  23823  mbfaddlem  23964  reeff1olem  24737  logdivlti  24904  ftalem2  25353  chtub  25490  bclbnd  25558  efexple  25559  bposlem1  25562  lgsquadlem2  25659  pntlem3  25887  axlowdimlem16  26446  pthdlem1  27255  wwlksnredwwlkn  27384  wwlksnredwwlknOLD  27385  clwwlkel  27563  clwwlknonex2lem2  27636  frgrogt3nreg  27954  poimirlem2  34332  stoweidlem34  41748  m1mod0mod1  42933  smonoord  42935  sbgoldbalt  43312  bgoldbtbndlem3  43338  bgoldbtbndlem4  43339  tgoldbach  43348  difmodm1lt  43948  regt1loggt0  43962  rege1logbrege0  43984  dignn0flhalflem1  44041