Theorem lttr 11257

Description: Alias for axlttrn 11253, for naming consistency with lttri 11307. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11150. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11253	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  ltso  11261  lelttr  11271  ltletr  11273  lttri  11307  lttrd  11342  lt2sub  11683  mulgt1OLD  12048  recgt1i  12087  recreclt  12089  sup2  12146  nnge1  12221  recnz  12616  gtndiv  12618  xrlttr  13107  fzo1fzo0n0  13683  flflp1  13776  1mod  13872  seqf1olem1  14013  expnbnd  14204  expnlbnd  14205  swrd2lsw  14925  2swrd2eqwrdeq  14926  sin01gt0  16165  cos01gt0  16166  p1modz1  16236  ltoddhalfle  16338  nno  16359  dvdsnprmd  16667  chfacfscmul0  22752  chfacfpmmul0  22756  iscmet3lem1  25198  bcthlem4  25234  bcthlem5  25235  ivthlem2  25360  ovolicc2lem3  25427  mbfaddlem  25568  reeff1olem  26363  logdivlti  26536  ftalem2  26991  chtub  27130  bclbnd  27198  efexple  27199  bposlem1  27202  lgsquadlem2  27299  pntlem3  27527  axlowdimlem16  28891  pthdlem1  29703  wwlksnredwwlkn  29832  clwwlkel  29982  clwwlknonex2lem2  30044  frgrogt3nreg  30333  poimirlem2  37623  sn-sup2  42486  stoweidlem34  46039  m1mod0mod1  47359  smonoord  47376  sbgoldbalt  47786  bgoldbtbndlem3  47812  bgoldbtbndlem4  47813  tgoldbach  47822  regt1loggt0  48529  rege1logbrege0  48551  dignn0flhalflem1  48608