Theorem lttr 11221

Description: Alias for axlttrn 11217, for naming consistency with lttri 11271. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11113. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  ltso  11225  lelttr  11235  ltletr  11237  lttri  11271  lttrd  11306  lt2sub  11647  mulgt1OLD  12012  recgt1i  12051  recreclt  12053  sup2  12110  nnge1  12185  recnz  12579  gtndiv  12581  xrlttr  13066  fzo1fzo0n0  13643  flflp1  13739  1mod  13835  seqf1olem1  13976  expnbnd  14167  expnlbnd  14168  swrd2lsw  14887  2swrd2eqwrdeq  14888  sin01gt0  16127  cos01gt0  16128  p1modz1  16198  ltoddhalfle  16300  nno  16321  dvdsnprmd  16629  chfacfscmul0  22814  chfacfpmmul0  22818  iscmet3lem1  25259  bcthlem4  25295  bcthlem5  25296  ivthlem2  25421  ovolicc2lem3  25488  mbfaddlem  25629  reeff1olem  26424  logdivlti  26597  ftalem2  27052  chtub  27191  bclbnd  27259  efexple  27260  bposlem1  27263  lgsquadlem2  27360  pntlem3  27588  axlowdimlem16  29042  pthdlem1  29851  wwlksnredwwlkn  29980  clwwlkel  30133  clwwlknonex2lem2  30195  frgrogt3nreg  30484  poimirlem2  37867  sn-sup2  42855  stoweidlem34  46386  m1mod0mod1  47708  smonoord  47725  sbgoldbalt  48135  bgoldbtbndlem3  48161  bgoldbtbndlem4  48162  tgoldbach  48171  regt1loggt0  48890  rege1logbrege0  48912  dignn0flhalflem1  48969