Theorem lttr 10719

Description: Alias for axlttrn 10715, for naming consistency with lttri 10768. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 10614. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 10715	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538   < clt 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682

This theorem is referenced by:  ltso  10723  lelttr  10733  ltletr  10734  lttri  10768  lttrd  10803  lt2sub  11140  mulgt1  11501  recgt1i  11539  recreclt  11541  sup2  11599  nnge1  11668  recnz  12060  gtndiv  12062  xrlttr  12536  fzo1fzo0n0  13091  flflp1  13180  1mod  13274  seqf1olem1  13412  expnbnd  13596  expnlbnd  13597  swrd2lsw  14316  2swrd2eqwrdeq  14317  sin01gt0  15545  cos01gt0  15546  p1modz1  15616  ltoddhalfle  15712  nno  15735  dvdsnprmd  16036  chfacfscmul0  21468  chfacfpmmul0  21472  iscmet3lem1  23896  bcthlem4  23932  bcthlem5  23933  ivthlem2  24055  ovolicc2lem3  24122  mbfaddlem  24263  reeff1olem  25036  logdivlti  25205  ftalem2  25653  chtub  25790  bclbnd  25858  efexple  25859  bposlem1  25862  lgsquadlem2  25959  pntlem3  26187  axlowdimlem16  26745  pthdlem1  27549  wwlksnredwwlkn  27675  clwwlkel  27827  clwwlknonex2lem2  27889  frgrogt3nreg  28178  poimirlem2  34896  stoweidlem34  42326  m1mod0mod1  43536  smonoord  43538  sbgoldbalt  43953  bgoldbtbndlem3  43979  bgoldbtbndlem4  43980  tgoldbach  43989  difmodm1lt  44589  regt1loggt0  44603  rege1logbrege0  44625  dignn0flhalflem1  44682