Theorem lttr 11367

Description: Alias for axlttrn 11363, for naming consistency with lttri 11417. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11256. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11363	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11180   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  ltso  11371  lelttr  11381  ltletr  11383  lttri  11417  lttrd  11452  lt2sub  11795  recgt1i  12195  recreclt  12197  sup2  12254  nnge1  12347  recnz  12755  gtndiv  12757  xrlttr  13250  fzo1fzo0n0  13830  flflp1  13927  1mod  14023  seqf1olem1  14164  expnbnd  14356  expnlbnd  14357  swrd2lsw  15085  2swrd2eqwrdeq  15086  sin01gt0  16338  cos01gt0  16339  p1modz1  16409  ltoddhalfle  16511  nno  16532  dvdsnprmd  16845  chfacfscmul0  23156  chfacfpmmul0  23160  iscmet3lem1  25592  bcthlem4  25628  bcthlem5  25629  ivthlem2  25753  ovolicc2lem3  25820  mbfaddlem  25961  reeff1olem  26755  logdivlti  26930  ftalem2  27383  chtub  27521  bclbnd  27589  efexple  27590  bposlem1  27593  lgsquadlem2  27690  pntlem3  27918  axlowdimlem16  29517  pthdlem1  30334  wwlksnredwwlkn  30466  clwwlkel  30619  clwwlknonex2lem2  30681  frgrogt3nreg  30980  poimirlem2  38508  sn-sup2  43523  stoweidlem34  46988  m1mod0mod1  48374  smonoord  48391  muldvdsfacgt  48400  muldvdsfacm1  48401  sbgoldbalt  48823  bgoldbtbndlem3  48849  bgoldbtbndlem4  48850  tgoldbach  48859  regt1loggt0  49592  rege1logbrege0  49614  dignn0flhalflem1  49671