Theorem lttr 11287

Description: Alias for axlttrn 11283, for naming consistency with lttri 11337. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11182. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ℝcr 11106   < clt 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250

This theorem is referenced by:  ltso  11291  lelttr  11301  ltletr  11303  lttri  11337  lttrd  11372  lt2sub  11709  mulgt1  12070  recgt1i  12108  recreclt  12110  sup2  12167  nnge1  12237  recnz  12634  gtndiv  12636  xrlttr  13116  fzo1fzo0n0  13680  flflp1  13769  1mod  13865  seqf1olem1  14004  expnbnd  14192  expnlbnd  14193  swrd2lsw  14900  2swrd2eqwrdeq  14901  sin01gt0  16130  cos01gt0  16131  p1modz1  16201  ltoddhalfle  16301  nno  16322  dvdsnprmd  16624  chfacfscmul0  22352  chfacfpmmul0  22356  iscmet3lem1  24800  bcthlem4  24836  bcthlem5  24837  ivthlem2  24961  ovolicc2lem3  25028  mbfaddlem  25169  reeff1olem  25950  logdivlti  26120  ftalem2  26568  chtub  26705  bclbnd  26773  efexple  26774  bposlem1  26777  lgsquadlem2  26874  pntlem3  27102  axlowdimlem16  28205  pthdlem1  29013  wwlksnredwwlkn  29139  clwwlkel  29289  clwwlknonex2lem2  29351  frgrogt3nreg  29640  poimirlem2  36479  sn-sup2  41339  stoweidlem34  44737  m1mod0mod1  46024  smonoord  46026  sbgoldbalt  46436  bgoldbtbndlem3  46462  bgoldbtbndlem4  46463  tgoldbach  46472  difmodm1lt  47162  regt1loggt0  47176  rege1logbrege0  47198  dignn0flhalflem1  47255