Theorem lttr 11389

Description: Alias for axlttrn 11385, for naming consistency with lttri 11439. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11278. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11385	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11202   < clt 11346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351

This theorem is used by:  ltso  11393  lelttr  11403  ltletr  11405  lttri  11439  lttrd  11474  lt2sub  11817  recgt1i  12217  recreclt  12219  sup2  12276  nnge1  12369  recnz  12777  gtndiv  12779  xrlttr  13272  fzo1fzo0n0  13853  flflp1  13950  1mod  14046  seqf1olem1  14187  expnbnd  14379  expnlbnd  14380  swrd2lsw  15110  2swrd2eqwrdeq  15111  sin01gt0  16363  cos01gt0  16364  p1modz1  16434  ltoddhalfle  16536  nno  16557  dvdsnprmd  16870  chfacfscmul0  23181  chfacfpmmul0  23185  iscmet3lem1  25617  bcthlem4  25653  bcthlem5  25654  ivthlem2  25778  ovolicc2lem3  25845  mbfaddlem  25986  reeff1olem  26778  logdivlti  26953  ftalem2  27406  chtub  27544  bclbnd  27612  efexple  27613  bposlem1  27616  lgsquadlem2  27713  pntlem3  27941  axlowdimlem16  29540  pthdlem1  30357  wwlksnredwwlkn  30489  clwwlkel  30642  clwwlknonex2lem2  30704  frgrogt3nreg  31003  poimirlem2  38633  sn-sup2  43648  stoweidlem34  47137  m1mod0mod1  48523  smonoord  48540  muldvdsfacgt  48549  muldvdsfacm1  48550  sbgoldbalt  48972  bgoldbtbndlem3  48998  bgoldbtbndlem4  48999  tgoldbach  49008  regt1loggt0  49741  rege1logbrege0  49763  dignn0flhalflem1  49820