Theorem lttr 11287

Description: Alias for axlttrn 11283, for naming consistency with lttri 11337. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11176. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝcr 11100   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  ltso  11291  lelttr  11301  ltletr  11303  lttri  11337  lttrd  11372  lt2sub  11713  recgt1i  12113  recreclt  12115  sup2  12172  nnge1  12265  recnz  12672  gtndiv  12674  xrlttr  13166  fzo1fzo0n0  13746  flflp1  13842  1mod  13938  seqf1olem1  14079  expnbnd  14270  expnlbnd  14271  swrd2lsw  14991  2swrd2eqwrdeq  14992  sin01gt0  16247  cos01gt0  16248  p1modz1  16318  ltoddhalfle  16420  nno  16441  dvdsnprmd  16749  chfacfscmul0  22996  chfacfpmmul0  23000  iscmet3lem1  25431  bcthlem4  25467  bcthlem5  25468  ivthlem2  25592  ovolicc2lem3  25659  mbfaddlem  25800  reeff1olem  26587  logdivlti  26763  ftalem2  27216  chtub  27354  bclbnd  27422  efexple  27423  bposlem1  27426  lgsquadlem2  27523  pntlem3  27751  axlowdimlem16  29285  pthdlem1  30093  wwlksnredwwlkn  30222  clwwlkel  30375  clwwlknonex2lem2  30437  frgrogt3nreg  30726  poimirlem2  38251  sn-sup2  43243  stoweidlem34  46728  m1mod0mod1  48074  smonoord  48091  muldvdsfacgt  48100  muldvdsfacm1  48101  sbgoldbalt  48523  bgoldbtbndlem3  48549  bgoldbtbndlem4  48550  tgoldbach  48559  regt1loggt0  49293  rege1logbrege0  49315  dignn0flhalflem1  49372