Theorem lttr 11209

Description: Alias for axlttrn 11205, for naming consistency with lttri 11259. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 11101. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 11205	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  ltso  11213  lelttr  11223  ltletr  11225  lttri  11259  lttrd  11294  lt2sub  11635  mulgt1OLD  12000  recgt1i  12039  recreclt  12041  sup2  12098  nnge1  12173  recnz  12567  gtndiv  12569  xrlttr  13054  fzo1fzo0n0  13631  flflp1  13727  1mod  13823  seqf1olem1  13964  expnbnd  14155  expnlbnd  14156  swrd2lsw  14875  2swrd2eqwrdeq  14876  sin01gt0  16115  cos01gt0  16116  p1modz1  16186  ltoddhalfle  16288  nno  16309  dvdsnprmd  16617  chfacfscmul0  22802  chfacfpmmul0  22806  iscmet3lem1  25247  bcthlem4  25283  bcthlem5  25284  ivthlem2  25409  ovolicc2lem3  25476  mbfaddlem  25617  reeff1olem  26412  logdivlti  26585  ftalem2  27040  chtub  27179  bclbnd  27247  efexple  27248  bposlem1  27251  lgsquadlem2  27348  pntlem3  27576  axlowdimlem16  29030  pthdlem1  29839  wwlksnredwwlkn  29968  clwwlkel  30121  clwwlknonex2lem2  30183  frgrogt3nreg  30472  poimirlem2  37819  sn-sup2  42742  stoweidlem34  46274  m1mod0mod1  47596  smonoord  47613  sbgoldbalt  48023  bgoldbtbndlem3  48049  bgoldbtbndlem4  48050  tgoldbach  48059  regt1loggt0  48778  rege1logbrege0  48800  dignn0flhalflem1  48857