Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-sup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-sup2 39581
Description: sup2 11588 with exactly the same proof except for using sn-ltp1 39575 instead of ltp1 11473, saving ax-mulcom 10594. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-sup2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem sn-sup2
StepHypRef Expression
1 peano2re 10806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
4 ssel 3911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
5 sn-ltp1 39575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
61ancli 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7 lttr 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
873expb 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
96, 8sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
105, 9sylan2i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
1110exp4b 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
1211com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))))
1312pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1))))
1413imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
15 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
165, 15syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 = 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
1716adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
1814, 17jaod 856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
1918ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
204, 19syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
2120com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦𝐴 → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
2221imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
2322a2d 29 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝐴 → (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑦𝐴𝑦 < (𝑥 + 1))))
2423ralimdv2 3146 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
2524expimpd 457 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
263, 25jcad 516 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
27 ovex 7172 . . . . . . . . . 10 (𝑥 + 1) ∈ V
28 eleq1 2880 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑧 ∈ ℝ ↔ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
29 breq2 5037 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < (𝑥 + 1)))
3029ralbidv 3165 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
3128, 30anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
3227, 31spcev 3558 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧))
3326, 32syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3433exlimdv 1934 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧)))
35 eleq1 2880 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
36 breq2 5037 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑥))
3736ralbidv 3165 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3835, 37anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
3938cbvexvw 2044 . . . . . . 7 (∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4034, 39syl6ib 254 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
41 df-rex 3115 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
42 df-rex 3115 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4340, 41, 423imtr4g 299 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4443adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4544imdistani 572 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
46 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
47 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4845, 46, 473imtr4i 295 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
49 axsup 10709 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
5048, 49syl 17 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-2 11692  df-3 11693  df-resub 39491
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator