Theorem sn-sup2 42182

Description: sup2 12216 with exactly the same proof except for using sn-ltp1 42175 instead of ltp1 12099, saving ax-mulcom 11213. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-sup2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem sn-sup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
4		ssel 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
5		sn-ltp1 42175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6	1	ancli 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7		lttr 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
8	7	3expb 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
9	6, 8	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
10	5, 9	sylan2i 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
11	10	exp4b 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
12	11	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
13	12	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
14	13	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
15		breq1 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
16	5, 15	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
17	16	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
18	14, 17	jaod 857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
19	18	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
20	4, 19	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
21	20	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
22	21	imp 405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
23	22	a2d 29	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
24	23	ralimdv2 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
25	24	expimpd 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
26	3, 25	jcad 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
27		ovex 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 + 1) ∈ V
28		eleq1 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑧 ∈ ℝ ↔ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
29		breq2 5149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
30	29	ralbidv 3168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31	28, 30	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
32	27, 31	spcev 3591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
33	26, 32	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34	33	exlimdv 1929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
35		eleq1 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
36		breq2 5149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
37	36	ralbidv 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
38	35, 37	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)))
39	38	cbvexvw 2033	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
40	34, 39	imbitrdi 250	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)))
41		df-rex 3061	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
42		df-rex 3061	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
43	40, 41, 42	3imtr4g 295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
44	43	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
45	44	imdistani 567	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
46		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
47		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
48	45, 46, 47	3imtr4i 291	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
49		axsup 11330	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
50	48, 49	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3946  ∅c0 4322   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  1c1 11150   + caddc 11152   < clt 11289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-ltxr 11294  df-2 12321  df-3 12322  df-resub 42077

This theorem is referenced by:  sn-sup3d  42183