Theorem sn-sup2 43695

Description: sup2 12283 with exactly the same proof except for using sn-ltp1 43680 instead of ltp1 12167, saving ax-mulcom 11274. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-sup2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem sn-sup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 11493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
4		ssel 3906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
5		sn-ltp1 43680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6	1	ancli 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7		lttr 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
8	7	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
9	6, 8	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
10	5, 9	sylan2i 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
11	10	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
12	11	com34 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
13	12	pm2.43d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
14	13	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
15		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
16	5, 15	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
18	14, 17	jaod 873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
19	18	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
20	4, 19	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
21	20	com23 87	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
22	21	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
23	22	a2d 30	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
24	23	ralimdv2 3174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
25	24	expimpd 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
26	3, 25	jcad 522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
27		ovex 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 + 1) ∈ V
28		eleq1 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑧 ∈ ℝ ↔ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
29		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
30	29	ralbidv 3188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31	28, 30	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
32	27, 31	spcev 3563	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
33	26, 32	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34	33	exlimdv 1967	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
35		eleq1 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
36		breq2 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
37	36	ralbidv 3188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
38	35, 37	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)))
39	38	cbvexvw 2071	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
40	34, 39	imbitrdi 254	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)))
41		df-rex 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
42		df-rex 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
43	40, 41, 42	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
44	43	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
45	44	imdistani 579	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
46		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
47		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
48	45, 46, 47	3imtr4i 295	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
49		axsup 11395	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
50	48, 49	syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  1c1 11211   + caddc 11213   < clt 11353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-2 12415  df-3 12416  df-resub 43557

This theorem is used by:  sn-sup3d  43696