Theorem sup2 12251

Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
sup2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem sup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 11463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
4		ssel 4002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
5		ltp1 12134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6	1	ancli 548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7		lttr 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
8	7	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
9	6, 8	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
10	5, 9	sylan2i 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
11	10	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
12	11	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
13	12	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
14	13	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
15		breq1 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
16	5, 15	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
18	14, 17	jaod 858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
20	4, 19	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
21	20	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
22	21	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
23	22	a2d 29	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
24	23	ralimdv2 3169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
25	24	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
26	3, 25	jcad 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
27		ovex 7481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 + 1) ∈ V
28		eleq1 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑧 ∈ ℝ ↔ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
29		breq2 5170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
30	29	ralbidv 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31	28, 30	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
32	27, 31	spcev 3619	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
33	26, 32	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34	33	exlimdv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
35		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
36		breq2 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
37	36	ralbidv 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
38	35, 37	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)))
39	38	cbvexvw 2036	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
40	34, 39	imbitrdi 251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)))
41		df-rex 3077	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
42		df-rex 3077	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
43	40, 41, 42	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
45	44	imdistani 568	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
46		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
47		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
48	45, 46, 47	3imtr4i 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
49		axsup 11365	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
50	48, 49	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  sup3  12252  nnunb  12549