Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sup2 11586
 Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
sup2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem sup2
StepHypRef Expression
1 peano2re 10804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
4 ssel 3908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
5 ltp1 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
61ancli 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7 lttr 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
873expb 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
96, 8sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
105, 9sylan2i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
1110exp4b 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
1211com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))))
1312pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1))))
1413imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
15 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
165, 15syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 = 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
1716adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
1814, 17jaod 856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
1918ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
204, 19syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
2120com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦𝐴 → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
2221imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
2322a2d 29 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝐴 → (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑦𝐴𝑦 < (𝑥 + 1))))
2423ralimdv2 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
2524expimpd 457 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
263, 25jcad 516 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
27 ovex 7168 . . . . . . . . . 10 (𝑥 + 1) ∈ V
28 eleq1 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑧 ∈ ℝ ↔ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
29 breq2 5034 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < (𝑥 + 1)))
3029ralbidv 3162 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
3128, 30anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
3227, 31spcev 3555 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧))
3326, 32syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3433exlimdv 1934 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧)))
35 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
36 breq2 5034 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑥))
3736ralbidv 3162 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3835, 37anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
3938cbvexvw 2044 . . . . . . 7 (∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4034, 39syl6ib 254 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
41 df-rex 3112 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
42 df-rex 3112 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4340, 41, 423imtr4g 299 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4443adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4544imdistani 572 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
46 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
47 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4845, 46, 473imtr4i 295 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
49 axsup 10707 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
5048, 49syl 17 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  1c1 10529   + caddc 10531   < clt 10666 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864 This theorem is referenced by:  sup3  11587  nnunb  11883
 Copyright terms: Public domain W3C validator