MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sup2 12195
Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
sup2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem sup2
StepHypRef Expression
1 peano2re 11412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
4 ssel 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
5 ltp1 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
61ancli 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7 lttr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
873expb 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
96, 8sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
105, 9sylan2i 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
1110exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
1211com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))))
1312pm2.43d 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1))))
1413imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
15 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
165, 15syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 = 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
1814, 17jaod 858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
1918ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
204, 19syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
2120com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦𝐴 → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
2221imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
2322a2d 29 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝐴 → (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝑦𝐴𝑦 < (𝑥 + 1))))
2423ralimdv2 3159 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
2524expimpd 453 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
263, 25jcad 512 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
27 ovex 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑥 + 1) ∈ V
28 eleq1 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑧 ∈ ℝ ↔ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
29 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < (𝑥 + 1)))
3029ralbidv 3173 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 + 1) → (∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
3128, 30anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
3227, 31spcev 3592 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧))
3326, 32syl6 35 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3433exlimdv 1929 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧)))
35 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
36 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑥))
3736ralbidv 3173 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
3835, 37anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
3938cbvexvw 2033 . . . . . . 7 (∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4034, 39imbitrdi 250 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
41 df-rex 3067 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
42 df-rex 3067 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4340, 41, 423imtr4g 296 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4443adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4544imdistani 568 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
46 df-3an 1087 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
47 df-3an 1087 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
4845, 46, 473imtr4i 292 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
49 axsup 11314 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
5048, 49syl 17 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  wss 3945  c0 4319   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472
This theorem is referenced by:  sup3  12196  nnunb  12493
  Copyright terms: Public domain W3C validator