Theorem unierri 32193

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	⊢ 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2	⊢ 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3	⊢ 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ UniOp
2		unopbd 32104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ BndLinOp
4		bdopf 31951	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6		unierr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ UniOp
7		unopbd 32104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ BndLinOp
9		bdopf 31951	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺: ℋ⟶ ℋ
11	5, 10	hocofi 31855	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
12		unierr.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ UniOp
13		unopbd 32104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
15		bdopf 31951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17		unierr.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp
18		unopbd 32104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
20		bdopf 31951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
22	16, 21	hocofi 31855	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	11, 22	hosubcli 31858	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24		nmop0h 32080	. . . 4 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
25	23, 24	mpan2 697	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
26		0le0 12273	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
27		00id 11312	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	breqtrri 5099	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (0 + 0)
29	5, 16	hosubcli 31858	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30		nmop0h 32080	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
31	29, 30	mpan2 697	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
32	10, 21	hosubcli 31858	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33		nmop0h 32080	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
34	32, 33	mpan2 697	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
35	31, 34	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (0 + 0))
36	28, 35	breqtrrid 5110	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → 0 ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
37	25, 36	eqbrtrd 5094	. 2 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
38	16, 10	hocofi 31855	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
39	11, 38, 22	honpncani 31916	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
40	39	fveq2i 6830	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
41	3, 8	bdopcoi 32187	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 32187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 32186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 32187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 32186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 32183	. . . . 5 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))))
47	5, 16, 10	hocsubdiri 31869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))
48	47	fveq2i 6830	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)))
49	3, 14	bdophdi 32186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 32184	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
51	48, 50	eqbrtrri 5095	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
52		bdopln 31950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 32078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇)) = ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
55	54	fveq2i 6830	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
56	8, 19	bdophdi 32186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 32184	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
58	55, 57	eqbrtrri 5095	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
59		nmopre 31959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ)
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ
61		nmopre 31959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
63		nmopre 31959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ
65		nmopre 31959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop‘𝐺) ∈ ℝ)
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝐺) ∈ ℝ
67	64, 66	remulcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∈ ℝ
68		nmopre 31959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
70		nmopre 31959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ)
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ
72	69, 71	remulcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) ∈ ℝ
73	60, 62, 67, 72	le2addi 11704	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
74	51, 58, 73	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
75	43, 45	bdophsi 32185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp
76		nmopre 31959	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ)
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
78	60, 62	readdcli 11151	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
79	67, 72	readdcli 11151	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) ∈ ℝ
80	77, 78, 79	letri 11266	. . . . 5 ⊢ (((normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
81	46, 74, 80	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
82	40, 81	eqbrtrri 5095	. . 3 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
83		nmopun 32103	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝐺 ∈ UniOp) → (normop‘𝐺) = 1)
84	6, 83	mpan2 697	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝐺) = 1)
85	84	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1))
86	64	recni 11150	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℂ
87	86	mulridi 11140	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆))
88	85, 87	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆)))
89		nmopun 32103	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝑆 ∈ UniOp) → (normop‘𝑆) = 1)
90	12, 89	mpan2 697	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝑆) = 1)
91	90	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
92	71	recni 11150	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℂ
93	92	mullidi 11141	. . . . 5 ⊢ (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇))
94	91, 93	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
95	88, 94	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
96	82, 95	breqtrid 5109	. 2 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
97	37, 96	pm2.61ine 3017	1 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   ≤ cle 11171   ℋchba 31008  0_ℋc0h 31024   +_op chos 31027   −_op chod 31029  norm_opcnop 31034  LinOpclo 31036  BndLinOpcbo 31037  UniOpcuo 31038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-lm 23212  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cfil 25240  df-cau 25241  df-cmet 25242  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-ssp 30811  df-lno 30833  df-nmoo 30834  df-0o 30836  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-shs 31397  df-pjh 31484  df-hosum 31819  df-homul 31820  df-hodif 31821  df-h0op 31837  df-nmop 31928  df-lnop 31930  df-bdop 31931  df-unop 31932  df-hmop 31933

This theorem is referenced by: (None)