HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unierri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unierri 32133
Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
unierr.1 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4 𝑇 ∈ UniOp
Assertion
Ref Expression
unierri (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri
StepHypRef Expression
1 unierr.1 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ UniOp
2 unopbd 32044 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐹 ∈ BndLinOp
4 bdopf 31891 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6 unierr.2 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ UniOp
7 unopbd 32044 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺 ∈ BndLinOp
9 bdopf 31891 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺: ℋ⟶ ℋ
115, 10hocofi 31795 . . . . 5 (𝐹𝐺): ℋ⟶ ℋ
12 unierr.3 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ UniOp
13 unopbd 32044 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑆 ∈ BndLinOp
15 bdopf 31891 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17 unierr.4 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ UniOp
18 unopbd 32044 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇 ∈ BndLinOp
20 bdopf 31891 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2216, 21hocofi 31795 . . . . 5 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
2311, 22hosubcli 31798 . . . 4 ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24 nmop0h 32020 . . . 4 (( ℋ = 0 ∧ ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) = 0)
2523, 24mpan2 691 . . 3 ( ℋ = 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) = 0)
26 0le0 12365 . . . . 5 0 ≤ 0
27 00id 11434 . . . . 5 (0 + 0) = 0
2826, 27breqtrri 5175 . . . 4 0 ≤ (0 + 0)
295, 16hosubcli 31798 . . . . . 6 (𝐹op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30 nmop0h 32020 . . . . . 6 (( ℋ = 0 ∧ (𝐹op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹op 𝑆)) = 0)
3129, 30mpan2 691 . . . . 5 ( ℋ = 0 → (normop‘(𝐹op 𝑆)) = 0)
3210, 21hosubcli 31798 . . . . . 6 (𝐺op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33 nmop0h 32020 . . . . . 6 (( ℋ = 0 ∧ (𝐺op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺op 𝑇)) = 0)
3432, 33mpan2 691 . . . . 5 ( ℋ = 0 → (normop‘(𝐺op 𝑇)) = 0)
3531, 34oveq12d 7449 . . . 4 ( ℋ = 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (0 + 0))
3628, 35breqtrrid 5186 . . 3 ( ℋ = 0 → 0 ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
3725, 36eqbrtrd 5170 . 2 ( ℋ = 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
3816, 10hocofi 31795 . . . . . 6 (𝑆𝐺): ℋ⟶ ℋ
3911, 38, 22honpncani 31856 . . . . 5 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) = ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))
4039fveq2i 6910 . . . 4 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) = (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)))
413, 8bdopcoi 32127 . . . . . . 7 (𝐹𝐺) ∈ BndLinOp
4214, 8bdopcoi 32127 . . . . . . 7 (𝑆𝐺) ∈ BndLinOp
4341, 42bdophdi 32126 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) ∈ BndLinOp
4414, 19bdopcoi 32127 . . . . . . 7 (𝑆𝑇) ∈ BndLinOp
4542, 44bdophdi 32126 . . . . . 6 ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp
4643, 45nmoptrii 32123 . . . . 5 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))))
475, 16, 10hocsubdiri 31809 . . . . . . . 8 ((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))
4847fveq2i 6910 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)))
493, 14bdophdi 32126 . . . . . . . 8 (𝐹op 𝑆) ∈ BndLinOp
5049, 8nmopcoi 32124 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺))
5148, 50eqbrtrri 5171 . . . . . 6 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺))
52 bdopln 31890 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
5314, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ LinOp
5453, 10, 21hoddii 32018 . . . . . . . 8 (𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇)) = ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))
5554fveq2i 6910 . . . . . . 7 (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇))) = (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))
568, 19bdophdi 32126 . . . . . . . 8 (𝐺op 𝑇) ∈ BndLinOp
5714, 56nmopcoi 32124 . . . . . . 7 (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))
5855, 57eqbrtrri 5171 . . . . . 6 (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))
59 nmopre 31899 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ∈ ℝ)
6043, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ∈ ℝ
61 nmopre 31899 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ ℝ)
6245, 61ax-mp 5 . . . . . . 7 (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ ℝ
63 nmopre 31899 . . . . . . . . 9 ((𝐹op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℝ)
6449, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℝ
65 nmopre 31899 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop𝐺) ∈ ℝ)
668, 65ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝐺) ∈ ℝ
6764, 66remulcli 11275 . . . . . . 7 ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) ∈ ℝ
68 nmopre 31899 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
6914, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝑆) ∈ ℝ
70 nmopre 31899 . . . . . . . . 9 ((𝐺op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℝ)
7156, 70ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℝ
7269, 71remulcli 11275 . . . . . . 7 ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) ∈ ℝ
7360, 62, 67, 72le2addi 11824 . . . . . 6 (((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))))
7451, 58, 73mp2an 692 . . . . 5 ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
7543, 45bdophsi 32125 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ BndLinOp
76 nmopre 31899 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . 6 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ
7860, 62readdcli 11274 . . . . . 6 ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ
7967, 72readdcli 11274 . . . . . 6 (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) ∈ ℝ
8077, 78, 79letri 11388 . . . . 5 (((normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))))
8146, 74, 80mp2an 692 . . . 4 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
8240, 81eqbrtrri 5171 . . 3 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
83 nmopun 32043 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝐺 ∈ UniOp) → (normop𝐺) = 1)
846, 83mpan2 691 . . . . . 6 ( ℋ ≠ 0 → (normop𝐺) = 1)
8584oveq2d 7447 . . . . 5 ( ℋ ≠ 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) = ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · 1))
8664recni 11273 . . . . . 6 (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℂ
8786mulridi 11263 . . . . 5 ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹op 𝑆))
8885, 87eqtrdi 2791 . . . 4 ( ℋ ≠ 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) = (normop‘(𝐹op 𝑆)))
89 nmopun 32043 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝑆 ∈ UniOp) → (normop𝑆) = 1)
9012, 89mpan2 691 . . . . . 6 ( ℋ ≠ 0 → (normop𝑆) = 1)
9190oveq1d 7446 . . . . 5 ( ℋ ≠ 0 → ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9271recni 11273 . . . . . 6 (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℂ
9392mullidi 11264 . . . . 5 (1 · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (normop‘(𝐺op 𝑇))
9491, 93eqtrdi 2791 . . . 4 ( ℋ ≠ 0 → ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (normop‘(𝐺op 𝑇)))
9588, 94oveq12d 7449 . . 3 ( ℋ ≠ 0 → (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9682, 95breqtrid 5185 . 2 ( ℋ ≠ 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9737, 96pm2.61ine 3023 1 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  chba 30948  0c0h 30964   +op chos 30967  op chod 30969  normopcnop 30974  LinOpclo 30976  BndLinOpcbo 30977  UniOpcuo 30978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-lno 30773  df-nmoo 30774  df-0o 30776  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-pjh 31424  df-hosum 31759  df-homul 31760  df-hodif 31761  df-h0op 31777  df-nmop 31868  df-lnop 31870  df-bdop 31871  df-unop 31872  df-hmop 31873
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator