HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unierri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unierri 29891
Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
unierr.1 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4 𝑇 ∈ UniOp
Assertion
Ref Expression
unierri (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri
StepHypRef Expression
1 unierr.1 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ UniOp
2 unopbd 29802 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐹 ∈ BndLinOp
4 bdopf 29649 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6 unierr.2 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ UniOp
7 unopbd 29802 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺 ∈ BndLinOp
9 bdopf 29649 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺: ℋ⟶ ℋ
115, 10hocofi 29553 . . . . 5 (𝐹𝐺): ℋ⟶ ℋ
12 unierr.3 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ UniOp
13 unopbd 29802 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑆 ∈ BndLinOp
15 bdopf 29649 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17 unierr.4 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ UniOp
18 unopbd 29802 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇 ∈ BndLinOp
20 bdopf 29649 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2216, 21hocofi 29553 . . . . 5 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
2311, 22hosubcli 29556 . . . 4 ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24 nmop0h 29778 . . . 4 (( ℋ = 0 ∧ ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) = 0)
2523, 24mpan2 690 . . 3 ( ℋ = 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) = 0)
26 0le0 11730 . . . . 5 0 ≤ 0
27 00id 10808 . . . . 5 (0 + 0) = 0
2826, 27breqtrri 5060 . . . 4 0 ≤ (0 + 0)
295, 16hosubcli 29556 . . . . . 6 (𝐹op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30 nmop0h 29778 . . . . . 6 (( ℋ = 0 ∧ (𝐹op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹op 𝑆)) = 0)
3129, 30mpan2 690 . . . . 5 ( ℋ = 0 → (normop‘(𝐹op 𝑆)) = 0)
3210, 21hosubcli 29556 . . . . . 6 (𝐺op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33 nmop0h 29778 . . . . . 6 (( ℋ = 0 ∧ (𝐺op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺op 𝑇)) = 0)
3432, 33mpan2 690 . . . . 5 ( ℋ = 0 → (normop‘(𝐺op 𝑇)) = 0)
3531, 34oveq12d 7157 . . . 4 ( ℋ = 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (0 + 0))
3628, 35breqtrrid 5071 . . 3 ( ℋ = 0 → 0 ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
3725, 36eqbrtrd 5055 . 2 ( ℋ = 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
3816, 10hocofi 29553 . . . . . 6 (𝑆𝐺): ℋ⟶ ℋ
3911, 38, 22honpncani 29614 . . . . 5 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) = ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))
4039fveq2i 6652 . . . 4 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) = (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)))
413, 8bdopcoi 29885 . . . . . . 7 (𝐹𝐺) ∈ BndLinOp
4214, 8bdopcoi 29885 . . . . . . 7 (𝑆𝐺) ∈ BndLinOp
4341, 42bdophdi 29884 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) ∈ BndLinOp
4414, 19bdopcoi 29885 . . . . . . 7 (𝑆𝑇) ∈ BndLinOp
4542, 44bdophdi 29884 . . . . . 6 ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp
4643, 45nmoptrii 29881 . . . . 5 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))))
475, 16, 10hocsubdiri 29567 . . . . . . . 8 ((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))
4847fveq2i 6652 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)))
493, 14bdophdi 29884 . . . . . . . 8 (𝐹op 𝑆) ∈ BndLinOp
5049, 8nmopcoi 29882 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺))
5148, 50eqbrtrri 5056 . . . . . 6 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺))
52 bdopln 29648 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
5314, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ LinOp
5453, 10, 21hoddii 29776 . . . . . . . 8 (𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇)) = ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))
5554fveq2i 6652 . . . . . . 7 (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇))) = (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))
568, 19bdophdi 29884 . . . . . . . 8 (𝐺op 𝑇) ∈ BndLinOp
5714, 56nmopcoi 29882 . . . . . . 7 (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))
5855, 57eqbrtrri 5056 . . . . . 6 (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))
59 nmopre 29657 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ∈ ℝ)
6043, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ∈ ℝ
61 nmopre 29657 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ ℝ)
6245, 61ax-mp 5 . . . . . . 7 (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ ℝ
63 nmopre 29657 . . . . . . . . 9 ((𝐹op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℝ)
6449, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℝ
65 nmopre 29657 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop𝐺) ∈ ℝ)
668, 65ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝐺) ∈ ℝ
6764, 66remulcli 10650 . . . . . . 7 ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) ∈ ℝ
68 nmopre 29657 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
6914, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝑆) ∈ ℝ
70 nmopre 29657 . . . . . . . . 9 ((𝐺op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℝ)
7156, 70ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℝ
7269, 71remulcli 10650 . . . . . . 7 ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) ∈ ℝ
7360, 62, 67, 72le2addi 11196 . . . . . 6 (((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))))
7451, 58, 73mp2an 691 . . . . 5 ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
7543, 45bdophsi 29883 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ BndLinOp
76 nmopre 29657 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . 6 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ
7860, 62readdcli 10649 . . . . . 6 ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ
7967, 72readdcli 10649 . . . . . 6 (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) ∈ ℝ
8077, 78, 79letri 10762 . . . . 5 (((normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))))
8146, 74, 80mp2an 691 . . . 4 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
8240, 81eqbrtrri 5056 . . 3 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
83 nmopun 29801 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝐺 ∈ UniOp) → (normop𝐺) = 1)
846, 83mpan2 690 . . . . . 6 ( ℋ ≠ 0 → (normop𝐺) = 1)
8584oveq2d 7155 . . . . 5 ( ℋ ≠ 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) = ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · 1))
8664recni 10648 . . . . . 6 (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℂ
8786mulid1i 10638 . . . . 5 ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹op 𝑆))
8885, 87eqtrdi 2852 . . . 4 ( ℋ ≠ 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) = (normop‘(𝐹op 𝑆)))
89 nmopun 29801 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝑆 ∈ UniOp) → (normop𝑆) = 1)
9012, 89mpan2 690 . . . . . 6 ( ℋ ≠ 0 → (normop𝑆) = 1)
9190oveq1d 7154 . . . . 5 ( ℋ ≠ 0 → ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9271recni 10648 . . . . . 6 (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℂ
9392mulid2i 10639 . . . . 5 (1 · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (normop‘(𝐺op 𝑇))
9491, 93eqtrdi 2852 . . . 4 ( ℋ ≠ 0 → ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (normop‘(𝐺op 𝑇)))
9588, 94oveq12d 7157 . . 3 ( ℋ ≠ 0 → (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9682, 95breqtrid 5070 . 2 ( ℋ ≠ 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9737, 96pm2.61ine 3073 1 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  ccom 5527  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cle 10669  chba 28706  0c0h 28722   +op chos 28725  op chod 28727  normopcnop 28732  LinOpclo 28734  BndLinOpcbo 28735  UniOpcuo 28736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvmulass 28794  ax-hvdistr1 28795  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his1 28869  ax-his2 28870  ax-his3 28871  ax-his4 28872  ax-hcompl 28989
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-lm 21838  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cfil 23863  df-cau 23864  df-cmet 23865  df-grpo 28280  df-gid 28281  df-ginv 28282  df-gdiv 28283  df-ablo 28332  df-vc 28346  df-nv 28379  df-va 28382  df-ba 28383  df-sm 28384  df-0v 28385  df-vs 28386  df-nmcv 28387  df-ims 28388  df-dip 28488  df-ssp 28509  df-lno 28531  df-nmoo 28532  df-0o 28534  df-ph 28600  df-cbn 28650  df-hnorm 28755  df-hba 28756  df-hvsub 28758  df-hlim 28759  df-hcau 28760  df-sh 28994  df-ch 29008  df-oc 29039  df-ch0 29040  df-shs 29095  df-pjh 29182  df-hosum 29517  df-homul 29518  df-hodif 29519  df-h0op 29535  df-nmop 29626  df-lnop 29628  df-bdop 29629  df-unop 29630  df-hmop 29631
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator