Theorem unierri 31335

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	⊢ 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2	⊢ 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3	⊢ 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ UniOp
2		unopbd 31246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ BndLinOp
4		bdopf 31093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6		unierr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ UniOp
7		unopbd 31246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ BndLinOp
9		bdopf 31093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺: ℋ⟶ ℋ
11	5, 10	hocofi 30997	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
12		unierr.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ UniOp
13		unopbd 31246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
15		bdopf 31093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17		unierr.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp
18		unopbd 31246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
20		bdopf 31093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
22	16, 21	hocofi 30997	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	11, 22	hosubcli 31000	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24		nmop0h 31222	. . . 4 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
25	23, 24	mpan2 690	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
26		0le0 12309	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
27		00id 11385	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	breqtrri 5174	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (0 + 0)
29	5, 16	hosubcli 31000	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30		nmop0h 31222	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
31	29, 30	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
32	10, 21	hosubcli 31000	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33		nmop0h 31222	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
34	32, 33	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
35	31, 34	oveq12d 7422	. . . 4 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (0 + 0))
36	28, 35	breqtrrid 5185	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → 0 ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
37	25, 36	eqbrtrd 5169	. 2 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
38	16, 10	hocofi 30997	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
39	11, 38, 22	honpncani 31058	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
40	39	fveq2i 6891	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
41	3, 8	bdopcoi 31329	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 31329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 31328	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 31329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 31328	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 31325	. . . . 5 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))))
47	5, 16, 10	hocsubdiri 31011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))
48	47	fveq2i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)))
49	3, 14	bdophdi 31328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 31326	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
51	48, 50	eqbrtrri 5170	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
52		bdopln 31092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 31220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇)) = ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
55	54	fveq2i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
56	8, 19	bdophdi 31328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 31326	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
58	55, 57	eqbrtrri 5170	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
59		nmopre 31101	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ)
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ
61		nmopre 31101	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
63		nmopre 31101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ
65		nmopre 31101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop‘𝐺) ∈ ℝ)
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝐺) ∈ ℝ
67	64, 66	remulcli 11226	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∈ ℝ
68		nmopre 31101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
70		nmopre 31101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ)
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ
72	69, 71	remulcli 11226	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) ∈ ℝ
73	60, 62, 67, 72	le2addi 11773	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
74	51, 58, 73	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
75	43, 45	bdophsi 31327	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp
76		nmopre 31101	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ)
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
78	60, 62	readdcli 11225	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
79	67, 72	readdcli 11225	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) ∈ ℝ
80	77, 78, 79	letri 11339	. . . . 5 ⊢ (((normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
81	46, 74, 80	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
82	40, 81	eqbrtrri 5170	. . 3 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
83		nmopun 31245	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝐺 ∈ UniOp) → (normop‘𝐺) = 1)
84	6, 83	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝐺) = 1)
85	84	oveq2d 7420	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1))
86	64	recni 11224	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℂ
87	86	mulridi 11214	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆))
88	85, 87	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆)))
89		nmopun 31245	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝑆 ∈ UniOp) → (normop‘𝑆) = 1)
90	12, 89	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝑆) = 1)
91	90	oveq1d 7419	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
92	71	recni 11224	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℂ
93	92	mullidi 11215	. . . . 5 ⊢ (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇))
94	91, 93	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
95	88, 94	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
96	82, 95	breqtrid 5184	. 2 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
97	37, 96	pm2.61ine 3026	1 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   ≤ cle 11245   ℋchba 30150  0_ℋc0h 30166   +_op chos 30169   −_op chod 30171  norm_opcnop 30176  LinOpclo 30178  BndLinOpcbo 30179  UniOpcuo 30180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-lm 22715  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-dip 29932  df-ssp 29953  df-lno 29975  df-nmoo 29976  df-0o 29978  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-shs 30539  df-pjh 30626  df-hosum 30961  df-homul 30962  df-hodif 30963  df-h0op 30979  df-nmop 31070  df-lnop 31072  df-bdop 31073  df-unop 31074  df-hmop 31075

This theorem is referenced by: (None)