HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unierri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unierri 29572
Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
unierr.1 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4 𝑇 ∈ UniOp
Assertion
Ref Expression
unierri (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri
StepHypRef Expression
1 unierr.1 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ UniOp
2 unopbd 29483 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐹 ∈ BndLinOp
4 bdopf 29330 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6 unierr.2 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ UniOp
7 unopbd 29483 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺 ∈ BndLinOp
9 bdopf 29330 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺: ℋ⟶ ℋ
115, 10hocofi 29234 . . . . 5 (𝐹𝐺): ℋ⟶ ℋ
12 unierr.3 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ UniOp
13 unopbd 29483 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑆 ∈ BndLinOp
15 bdopf 29330 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17 unierr.4 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ UniOp
18 unopbd 29483 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇 ∈ BndLinOp
20 bdopf 29330 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2216, 21hocofi 29234 . . . . 5 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
2311, 22hosubcli 29237 . . . 4 ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24 nmop0h 29459 . . . 4 (( ℋ = 0 ∧ ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) = 0)
2523, 24mpan2 687 . . 3 ( ℋ = 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) = 0)
26 0le0 11586 . . . . 5 0 ≤ 0
27 00id 10662 . . . . 5 (0 + 0) = 0
2826, 27breqtrri 4989 . . . 4 0 ≤ (0 + 0)
295, 16hosubcli 29237 . . . . . 6 (𝐹op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30 nmop0h 29459 . . . . . 6 (( ℋ = 0 ∧ (𝐹op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹op 𝑆)) = 0)
3129, 30mpan2 687 . . . . 5 ( ℋ = 0 → (normop‘(𝐹op 𝑆)) = 0)
3210, 21hosubcli 29237 . . . . . 6 (𝐺op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33 nmop0h 29459 . . . . . 6 (( ℋ = 0 ∧ (𝐺op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺op 𝑇)) = 0)
3432, 33mpan2 687 . . . . 5 ( ℋ = 0 → (normop‘(𝐺op 𝑇)) = 0)
3531, 34oveq12d 7034 . . . 4 ( ℋ = 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (0 + 0))
3628, 35breqtrrid 5000 . . 3 ( ℋ = 0 → 0 ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
3725, 36eqbrtrd 4984 . 2 ( ℋ = 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
3816, 10hocofi 29234 . . . . . 6 (𝑆𝐺): ℋ⟶ ℋ
3911, 38, 22honpncani 29295 . . . . 5 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) = ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))
4039fveq2i 6541 . . . 4 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) = (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇)))
413, 8bdopcoi 29566 . . . . . . 7 (𝐹𝐺) ∈ BndLinOp
4214, 8bdopcoi 29566 . . . . . . 7 (𝑆𝐺) ∈ BndLinOp
4341, 42bdophdi 29565 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) ∈ BndLinOp
4414, 19bdopcoi 29566 . . . . . . 7 (𝑆𝑇) ∈ BndLinOp
4542, 44bdophdi 29565 . . . . . 6 ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp
4643, 45nmoptrii 29562 . . . . 5 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))))
475, 16, 10hocsubdiri 29248 . . . . . . . 8 ((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))
4847fveq2i 6541 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)))
493, 14bdophdi 29565 . . . . . . . 8 (𝐹op 𝑆) ∈ BndLinOp
5049, 8nmopcoi 29563 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺))
5148, 50eqbrtrri 4985 . . . . . 6 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺))
52 bdopln 29329 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
5314, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ LinOp
5453, 10, 21hoddii 29457 . . . . . . . 8 (𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇)) = ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))
5554fveq2i 6541 . . . . . . 7 (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇))) = (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))
568, 19bdophdi 29565 . . . . . . . 8 (𝐺op 𝑇) ∈ BndLinOp
5714, 56nmopcoi 29563 . . . . . . 7 (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺op 𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))
5855, 57eqbrtrri 4985 . . . . . 6 (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))
59 nmopre 29338 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ∈ ℝ)
6043, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ∈ ℝ
61 nmopre 29338 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ ℝ)
6245, 61ax-mp 5 . . . . . . 7 (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ ℝ
63 nmopre 29338 . . . . . . . . 9 ((𝐹op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℝ)
6449, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℝ
65 nmopre 29338 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop𝐺) ∈ ℝ)
668, 65ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝐺) ∈ ℝ
6764, 66remulcli 10503 . . . . . . 7 ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) ∈ ℝ
68 nmopre 29338 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
6914, 68ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝑆) ∈ ℝ
70 nmopre 29338 . . . . . . . . 9 ((𝐺op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℝ)
7156, 70ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℝ
7269, 71remulcli 10503 . . . . . . 7 ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) ∈ ℝ
7360, 62, 67, 72le2addi 11051 . . . . . 6 (((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))))
7451, 58, 73mp2an 688 . . . . 5 ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
7543, 45bdophsi 29564 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ BndLinOp
76 nmopre 29338 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . 6 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ
7860, 62readdcli 10502 . . . . . 6 ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∈ ℝ
7967, 72readdcli 10502 . . . . . 6 (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) ∈ ℝ
8077, 78, 79letri 10616 . . . . 5 (((normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺))) + (normop‘((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))))
8146, 74, 80mp2an 688 . . . 4 (normop‘(((𝐹𝐺) −op (𝑆𝐺)) +op ((𝑆𝐺) −op (𝑆𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
8240, 81eqbrtrri 4985 . . 3 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
83 nmopun 29482 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝐺 ∈ UniOp) → (normop𝐺) = 1)
846, 83mpan2 687 . . . . . 6 ( ℋ ≠ 0 → (normop𝐺) = 1)
8584oveq2d 7032 . . . . 5 ( ℋ ≠ 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) = ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · 1))
8664recni 10501 . . . . . 6 (normop‘(𝐹op 𝑆)) ∈ ℂ
8786mulid1i 10491 . . . . 5 ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹op 𝑆))
8885, 87syl6eq 2847 . . . 4 ( ℋ ≠ 0 → ((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) = (normop‘(𝐹op 𝑆)))
89 nmopun 29482 . . . . . . 7 (( ℋ ≠ 0𝑆 ∈ UniOp) → (normop𝑆) = 1)
9012, 89mpan2 687 . . . . . 6 ( ℋ ≠ 0 → (normop𝑆) = 1)
9190oveq1d 7031 . . . . 5 ( ℋ ≠ 0 → ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9271recni 10501 . . . . . 6 (normop‘(𝐺op 𝑇)) ∈ ℂ
9392mulid2i 10492 . . . . 5 (1 · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (normop‘(𝐺op 𝑇))
9491, 93syl6eq 2847 . . . 4 ( ℋ ≠ 0 → ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇))) = (normop‘(𝐺op 𝑇)))
9588, 94oveq12d 7034 . . 3 ( ℋ ≠ 0 → (((normop‘(𝐹op 𝑆)) · (normop𝐺)) + ((normop𝑆) · (normop‘(𝐺op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9682, 95breqtrid 4999 . 2 ( ℋ ≠ 0 → (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇))))
9737, 96pm2.61ine 3068 1 (normop‘((𝐹𝐺) −op (𝑆𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹op 𝑆)) + (normop‘(𝐺op 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4962  ccom 5447  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  cle 10522  chba 28387  0c0h 28403   +op chos 28406  op chod 28408  normopcnop 28413  LinOpclo 28415  BndLinOpcbo 28416  UniOpcuo 28417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463  ax-hilex 28467  ax-hfvadd 28468  ax-hvcom 28469  ax-hvass 28470  ax-hv0cl 28471  ax-hvaddid 28472  ax-hfvmul 28473  ax-hvmulid 28474  ax-hvmulass 28475  ax-hvdistr1 28476  ax-hvdistr2 28477  ax-hvmul0 28478  ax-hfi 28547  ax-his1 28550  ax-his2 28551  ax-his3 28552  ax-his4 28553  ax-hcompl 28670
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-acn 9217  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-lm 21521  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cfil 23541  df-cau 23542  df-cmet 23543  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ginv 27963  df-gdiv 27964  df-ablo 28013  df-vc 28027  df-nv 28060  df-va 28063  df-ba 28064  df-sm 28065  df-0v 28066  df-vs 28067  df-nmcv 28068  df-ims 28069  df-dip 28169  df-ssp 28190  df-lno 28212  df-nmoo 28213  df-0o 28215  df-ph 28281  df-cbn 28331  df-hnorm 28436  df-hba 28437  df-hvsub 28439  df-hlim 28440  df-hcau 28441  df-sh 28675  df-ch 28689  df-oc 28720  df-ch0 28721  df-shs 28776  df-pjh 28863  df-hosum 29198  df-homul 29199  df-hodif 29200  df-h0op 29216  df-nmop 29307  df-lnop 29309  df-bdop 29310  df-unop 29311  df-hmop 29312
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator