Theorem unierri 32393

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	⊢ 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2	⊢ 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3	⊢ 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ UniOp
2		unopbd 32304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ BndLinOp
4		bdopf 32151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6		unierr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ UniOp
7		unopbd 32304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ BndLinOp
9		bdopf 32151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺: ℋ⟶ ℋ
11	5, 10	hocofi 32055	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
12		unierr.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ UniOp
13		unopbd 32304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
15		bdopf 32151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17		unierr.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp
18		unopbd 32304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
20		bdopf 32151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
22	16, 21	hocofi 32055	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	11, 22	hosubcli 32058	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24		nmop0h 32280	. . . 4 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
25	23, 24	mpan2 703	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
26		0le0 12338	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
27		00id 11381	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	breqtrri 5139	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (0 + 0)
29	5, 16	hosubcli 32058	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30		nmop0h 32280	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
31	29, 30	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
32	10, 21	hosubcli 32058	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33		nmop0h 32280	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
34	32, 33	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
35	31, 34	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (0 + 0))
36	28, 35	breqtrrid 5150	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → 0 ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
37	25, 36	eqbrtrd 5134	. 2 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
38	16, 10	hocofi 32055	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
39	11, 38, 22	honpncani 32116	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
40	39	fveq2i 6882	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
41	3, 8	bdopcoi 32387	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 32387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 32386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 32387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 32386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 32383	. . . . 5 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))))
47	5, 16, 10	hocsubdiri 32069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))
48	47	fveq2i 6882	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)))
49	3, 14	bdophdi 32386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 32384	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
51	48, 50	eqbrtrri 5135	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
52		bdopln 32150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 32278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇)) = ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
55	54	fveq2i 6882	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
56	8, 19	bdophdi 32386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 32384	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
58	55, 57	eqbrtrri 5135	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
59		nmopre 32159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ)
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ
61		nmopre 32159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
63		nmopre 32159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ
65		nmopre 32159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop‘𝐺) ∈ ℝ)
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝐺) ∈ ℝ
67	64, 66	remulcli 11221	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∈ ℝ
68		nmopre 32159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
70		nmopre 32159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ)
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ
72	69, 71	remulcli 11221	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) ∈ ℝ
73	60, 62, 67, 72	le2addi 11773	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
74	51, 58, 73	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
75	43, 45	bdophsi 32385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp
76		nmopre 32159	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ)
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
78	60, 62	readdcli 11220	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
79	67, 72	readdcli 11220	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) ∈ ℝ
80	77, 78, 79	letri 11335	. . . . 5 ⊢ (((normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
81	46, 74, 80	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
82	40, 81	eqbrtrri 5135	. . 3 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
83		nmopun 32303	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝐺 ∈ UniOp) → (normop‘𝐺) = 1)
84	6, 83	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝐺) = 1)
85	84	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1))
86	64	recni 11219	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℂ
87	86	mulridi 11209	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆))
88	85, 87	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆)))
89		nmopun 32303	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝑆 ∈ UniOp) → (normop‘𝑆) = 1)
90	12, 89	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝑆) = 1)
91	90	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
92	71	recni 11219	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℂ
93	92	mullidi 11210	. . . . 5 ⊢ (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇))
94	91, 93	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
95	88, 94	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
96	82, 95	breqtrid 5149	. 2 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
97	37, 96	pm2.61ine 3047	1 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   ≤ cle 11240   ℋchba 31208  0_ℋc0h 31224   +_op chos 31227   −_op chod 31229  norm_opcnop 31234  LinOpclo 31236  BndLinOpcbo 31237  UniOpcuo 31238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374  ax-hcompl 31491

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-lm 23351  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cfil 25379  df-cau 25380  df-cmet 25381  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ginv 30784  df-gdiv 30785  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-vs 30888  df-nmcv 30889  df-ims 30890  df-dip 30990  df-ssp 31011  df-lno 31033  df-nmoo 31034  df-0o 31036  df-ph 31102  df-cbn 31152  df-hnorm 31257  df-hba 31258  df-hvsub 31260  df-hlim 31261  df-hcau 31262  df-sh 31496  df-ch 31510  df-oc 31541  df-ch0 31542  df-shs 31597  df-pjh 31684  df-hosum 32019  df-homul 32020  df-hodif 32021  df-h0op 32037  df-nmop 32128  df-lnop 32130  df-bdop 32131  df-unop 32132  df-hmop 32133

This theorem is referenced by: (None)