Theorem unierri 32699

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	⊢ 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2	⊢ 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3	⊢ 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ UniOp
2		unopbd 32610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ BndLinOp
4		bdopf 32457	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6		unierr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ UniOp
7		unopbd 32610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ BndLinOp
9		bdopf 32457	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺: ℋ⟶ ℋ
11	5, 10	hocofi 32361	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
12		unierr.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ UniOp
13		unopbd 32610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
15		bdopf 32457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17		unierr.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp
18		unopbd 32610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
20		bdopf 32457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
22	16, 21	hocofi 32361	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	11, 22	hosubcli 32364	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24		nmop0h 32586	. . . 4 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
25	23, 24	mpan2 704	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
26		0le0 12437	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
27		00id 11478	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	breqtrri 5132	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (0 + 0)
29	5, 16	hosubcli 32364	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30		nmop0h 32586	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
31	29, 30	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
32	10, 21	hosubcli 32364	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33		nmop0h 32586	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
34	32, 33	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
35	31, 34	oveq12d 7436	. . . 4 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (0 + 0))
36	28, 35	breqtrrid 5143	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → 0 ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
37	25, 36	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
38	16, 10	hocofi 32361	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
39	11, 38, 22	honpncani 32422	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
40	39	fveq2i 6886	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
41	3, 8	bdopcoi 32693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 32693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 32692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 32693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 32692	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 32689	. . . . 5 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))))
47	5, 16, 10	hocsubdiri 32375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))
48	47	fveq2i 6886	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)))
49	3, 14	bdophdi 32692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 32690	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
51	48, 50	eqbrtrri 5128	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
52		bdopln 32456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 32584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇)) = ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
55	54	fveq2i 6886	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
56	8, 19	bdophdi 32692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 32690	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
58	55, 57	eqbrtrri 5128	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
59		nmopre 32465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ)
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ
61		nmopre 32465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
63		nmopre 32465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ
65		nmopre 32465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop‘𝐺) ∈ ℝ)
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝐺) ∈ ℝ
67	64, 66	remulcli 11318	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∈ ℝ
68		nmopre 32465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
70		nmopre 32465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ)
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ
72	69, 71	remulcli 11318	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) ∈ ℝ
73	60, 62, 67, 72	le2addi 11872	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
74	51, 58, 73	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
75	43, 45	bdophsi 32691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp
76		nmopre 32465	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ)
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
78	60, 62	readdcli 11317	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
79	67, 72	readdcli 11317	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) ∈ ℝ
80	77, 78, 79	letri 11432	. . . . 5 ⊢ (((normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
81	46, 74, 80	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
82	40, 81	eqbrtrri 5128	. . 3 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
83		nmopun 32609	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝐺 ∈ UniOp) → (normop‘𝐺) = 1)
84	6, 83	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝐺) = 1)
85	84	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1))
86	64	recni 11316	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℂ
87	86	mulridi 11306	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆))
88	85, 87	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆)))
89		nmopun 32609	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝑆 ∈ UniOp) → (normop‘𝑆) = 1)
90	12, 89	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝑆) = 1)
91	90	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
92	71	recni 11316	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℂ
93	92	mullidi 11307	. . . . 5 ⊢ (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇))
94	91, 93	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
95	88, 94	oveq12d 7436	. . 3 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
96	82, 95	breqtrid 5142	. 2 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
97	37, 96	pm2.61ine 3039	1 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   ≤ cle 11337   ℋchba 31514  0_ℋc0h 31530   +_op chos 31533   −_op chod 31535  norm_opcnop 31540  LinOpclo 31542  BndLinOpcbo 31543  UniOpcuo 31544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680  ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-lm 23540  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cfil 25569  df-cau 25570  df-cmet 25571  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-dip 31296  df-ssp 31317  df-lno 31339  df-nmoo 31340  df-0o 31342  df-ph 31408  df-cbn 31458  df-hnorm 31563  df-hba 31564  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-hcau 31568  df-sh 31802  df-ch 31816  df-oc 31847  df-ch0 31848  df-shs 31903  df-pjh 31990  df-hosum 32325  df-homul 32326  df-hodif 32327  df-h0op 32343  df-nmop 32434  df-lnop 32436  df-bdop 32437  df-unop 32438  df-hmop 32439

This theorem is used by: (None)