Theorem unierri 32175

Description: If we approximate a chain of unitary transformations (quantum computer gates) 𝐹, 𝐺 by other unitary transformations 𝑆, 𝑇, the error increases at most additively. Equation 4.73 of [NielsenChuang] p. 195. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
unierr.1	⊢ 𝐹 ∈ UniOp
unierr.2	⊢ 𝐺 ∈ UniOp
unierr.3	⊢ 𝑆 ∈ UniOp
unierr.4	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Assertion

Ref	Expression
unierri	⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Proof of Theorem unierri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unierr.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ UniOp
2		unopbd 32086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ UniOp → 𝐹 ∈ BndLinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ∈ BndLinOp
4		bdopf 31933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ BndLinOp → 𝐹: ℋ⟶ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹: ℋ⟶ ℋ
6		unierr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ UniOp
7		unopbd 32086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UniOp → 𝐺 ∈ BndLinOp)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ BndLinOp
9		bdopf 31933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → 𝐺: ℋ⟶ ℋ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺: ℋ⟶ ℋ
11	5, 10	hocofi 31837	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
12		unierr.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ UniOp
13		unopbd 32086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆 ∈ BndLinOp)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
15		bdopf 31933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
17		unierr.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp
18		unopbd 32086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
20		bdopf 31933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
22	16, 21	hocofi 31837	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
23	11, 22	hosubcli 31840	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
24		nmop0h 32062	. . . 4 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
25	23, 24	mpan2 692	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = 0)
26		0le0 12282	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
27		00id 11321	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	breqtrri 5112	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (0 + 0)
29	5, 16	hosubcli 31840	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
30		nmop0h 32062	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐹 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
31	29, 30	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) = 0)
32	10, 21	hosubcli 31840	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
33		nmop0h 32062	. . . . . 6 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ (𝐺 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
34	32, 33	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) = 0)
35	31, 34	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (0 + 0))
36	28, 35	breqtrrid 5123	. . 3 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → 0 ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
37	25, 36	eqbrtrd 5107	. 2 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
38	16, 10	hocofi 31837	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺): ℋ⟶ ℋ
39	11, 38, 22	honpncani 31898	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
40	39	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
41	3, 8	bdopcoi 32169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
42	14, 8	bdopcoi 32169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝐺) ∈ BndLinOp
43	41, 42	bdophdi 32168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp
44	14, 19	bdopcoi 32169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
45	42, 44	bdophdi 32168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp
46	43, 45	nmoptrii 32165	. . . . 5 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))))
47	5, 16, 10	hocsubdiri 31851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))
48	47	fveq2i 6843	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) = (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)))
49	3, 14	bdophdi 32168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp
50	49, 8	nmopcoi 32166	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 −op 𝑆) ∘ 𝐺)) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
51	48, 50	eqbrtrri 5108	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺))
52		bdopln 31932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
53	14, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
54	53, 10, 21	hoddii 32060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇)) = ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))
55	54	fveq2i 6843	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
56	8, 19	bdophdi 32168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp
57	14, 56	nmopcoi 32166	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ (𝐺 −op 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
58	55, 57	eqbrtrri 5108	. . . . . 6 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
59		nmopre 31941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ)
60	43, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ∈ ℝ
61		nmopre 31941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp → (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ)
62	45, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ ℝ
63		nmopre 31941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 −op 𝑆) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℝ
65		nmopre 31941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ BndLinOp → (normop‘𝐺) ∈ ℝ)
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝐺) ∈ ℝ
67	64, 66	remulcli 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∈ ℝ
68		nmopre 31941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
69	14, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
70		nmopre 31941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 −op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ)
71	56, 70	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℝ
72	69, 71	remulcli 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) ∈ ℝ
73	60, 62, 67, 72	le2addi 11713	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) ∧ (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) → ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
74	51, 58, 73	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
75	43, 45	bdophsi 32167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp
76		nmopre 31941	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ∈ BndLinOp → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ)
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
78	60, 62	readdcli 11160	. . . . . 6 ⊢ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∈ ℝ
79	67, 72	readdcli 11160	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) ∈ ℝ
80	77, 78, 79	letri 11275	. . . . 5 ⊢ (((normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ∧ ((normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺))) + (normop‘((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))) → (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))))
81	46, 74, 80	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (normop‘(((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝐺)) +op ((𝑆 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
82	40, 81	eqbrtrri 5108	. . 3 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
83		nmopun 32085	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝐺 ∈ UniOp) → (normop‘𝐺) = 1)
84	6, 83	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝐺) = 1)
85	84	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1))
86	64	recni 11159	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐹 −op 𝑆)) ∈ ℂ
87	86	mulridi 11149	. . . . 5 ⊢ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · 1) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆))
88	85, 87	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) = (normop‘(𝐹 −op 𝑆)))
89		nmopun 32085	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ≠ 0ℋ ∧ 𝑆 ∈ UniOp) → (normop‘𝑆) = 1)
90	12, 89	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘𝑆) = 1)
91	90	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
92	71	recni 11159	. . . . . 6 ⊢ (normop‘(𝐺 −op 𝑇)) ∈ ℂ
93	92	mullidi 11150	. . . . 5 ⊢ (1 · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇))
94	91, 93	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇))) = (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))
95	88, 94	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) · (normop‘𝐺)) + ((normop‘𝑆) · (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))) = ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
96	82, 95	breqtrid 5122	. 2 ⊢ ( ℋ ≠ 0ℋ → (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇))))
97	37, 96	pm2.61ine 3015	1 ⊢ (normop‘((𝐹 ∘ 𝐺) −op (𝑆 ∘ 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝐹 −op 𝑆)) + (normop‘(𝐺 −op 𝑇)))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11180   ℋchba 30990  0_ℋc0h 31006   +_op chos 31009   −_op chod 31011  norm_opcnop 31016  LinOpclo 31018  BndLinOpcbo 31019  UniOpcuo 31020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156  ax-hcompl 31273

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ssp 30793  df-lno 30815  df-nmoo 30816  df-0o 30818  df-ph 30884  df-cbn 30934  df-hnorm 31039  df-hba 31040  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-hcau 31044  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324  df-shs 31379  df-pjh 31466  df-hosum 31801  df-homul 31802  df-hodif 31803  df-h0op 31819  df-nmop 31910  df-lnop 31912  df-bdop 31913  df-unop 31914  df-hmop 31915

This theorem is referenced by: (None)