Theorem nmopsetretALT 29916

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 29892 is a set of reals. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopsetretALT	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetretALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
2		normcl 29178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
4		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ))
5	3, 4	syl5ibr 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℝ))
6	5	impcom 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	exp31 423	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)))
9	8	rexlimdv 3195	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ))
10	9	abssdv 3972	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {cab 2712  ∃wrex 3055   ⊆ wss 3857   class class class wbr 5043  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  ℝcr 10711  1c1 10713   ≤ cle 10851   ℋchba 28972  norm_ℎcno 28976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790  ax-hv0cl 29056  ax-hvmul0 29063  ax-hfi 29132  ax-his1 29135  ax-his3 29137  ax-his4 29138

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-sup 9047  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-seq 13558  df-exp 13619  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-hnorm 29021

This theorem is referenced by:  nmopub  29961