Theorem nmopsetretALT 31103

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 31079 is a set of reals. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopsetretALT	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetretALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
2		normcl 30365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
4		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ))
5	3, 4	imbitrrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℝ))
6	5	impcom 408	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantrl 714	. . . 4 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	exp31 420	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)))
9	8	rexlimdv 3153	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ))
10	9	abssdv 4064	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  1c1 11107   ≤ cle 11245   ℋchba 30159  norm_ℎcno 30163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-hv0cl 30243  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his3 30324  ax-his4 30325

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-hnorm 30208

This theorem is referenced by:  nmopub  31148