Theorem nmopre 29649

Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 29-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopre	⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmopre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopf 29641	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		nmopgtmnf 29647	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘𝑇))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → -∞ < (normop‘𝑇))
4		elbdop 29639	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) < +∞))
5	4	simprbi 499	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) < +∞)
6		nmopxr 29645	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
7		xrrebnd 12564	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ* → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (normop‘𝑇) ∧ (normop‘𝑇) < +∞)))
8	1, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (normop‘𝑇) ∧ (normop‘𝑇) < +∞)))
9	3, 5, 8	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  ℝcr 10538  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ℋchba 28698  norm_opcnop 28724  LinOpclo 28726  BndLinOpcbo 28727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvcom 28780  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvmulass 28786  ax-hvdistr1 28787  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789  ax-hfi 28858  ax-his1 28861  ax-his2 28862  ax-his3 28863  ax-his4 28864

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-grpo 28272  df-gid 28273  df-ablo 28324  df-vc 28338  df-nv 28371  df-va 28374  df-ba 28375  df-sm 28376  df-0v 28377  df-nmcv 28379  df-hnorm 28747  df-hba 28748  df-hvsub 28750  df-nmop 29618  df-lnop 29620  df-bdop 29621

This theorem is referenced by:  nmbdoplbi  29803  nmophmi  29810  bdophmi  29811  lnopcnbd  29815  nmopadjlem  29868  nmopadji  29869  nmoptrii  29873  nmopcoi  29874  bdophsi  29875  bdopcoi  29877  nmoptri2i  29878  nmopcoadji  29880  nmopcoadj0i  29882  unierri  29883