Theorem nmopre 31898

Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 29-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopre	⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmopre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopf 31890	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		nmopgtmnf 31896	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘𝑇))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → -∞ < (normop‘𝑇))
4		elbdop 31888	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) < +∞))
5	4	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) < +∞)
6		nmopxr 31894	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
7		xrrebnd 13206	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ* → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (normop‘𝑇) ∧ (normop‘𝑇) < +∞)))
8	1, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (normop‘𝑇) ∧ (normop‘𝑇) < +∞)))
9	3, 5, 8	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ℋchba 30947  norm_opcnop 30973  LinOpclo 30975  BndLinOpcbo 30976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-nmcv 30628  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-nmop 31867  df-lnop 31869  df-bdop 31870

This theorem is referenced by:  nmbdoplbi  32052  nmophmi  32059  bdophmi  32060  lnopcnbd  32064  nmopadjlem  32117  nmopadji  32118  nmoptrii  32122  nmopcoi  32123  bdophsi  32124  bdopcoi  32126  nmoptri2i  32127  nmopcoadji  32129  nmopcoadj0i  32131  unierri  32132