Theorem nmopre 32298

Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 29-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopre	⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmopre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopf 32290	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2		nmopgtmnf 32296	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘𝑇))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → -∞ < (normop‘𝑇))
4		elbdop 32288	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop‘𝑇) < +∞))
5	4	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) < +∞)
6		nmopxr 32294	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop‘𝑇) ∈ ℝ*)
7		xrrebnd 13215	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ* → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (normop‘𝑇) ∧ (normop‘𝑇) < +∞)))
8	1, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (normop‘𝑇) ∧ (normop‘𝑇) < +∞)))
9	3, 5, 8	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  ℝcr 11119  +∞cpnf 11260  -∞cmnf 11261  ℝ^*cxr 11262   < clt 11263   ℋchba 31347  norm_opcnop 31373  LinOpclo 31375  BndLinOpcbo 31376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-hilex 31427  ax-hfvadd 31428  ax-hvcom 31429  ax-hvass 31430  ax-hv0cl 31431  ax-hvaddid 31432  ax-hfvmul 31433  ax-hvmulid 31434  ax-hvmulass 31435  ax-hvdistr1 31436  ax-hvdistr2 31437  ax-hvmul0 31438  ax-hfi 31507  ax-his1 31510  ax-his2 31511  ax-his3 31512  ax-his4 31513

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-sup 9410  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-rp 13038  df-seq 14061  df-exp 14121  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-grpo 30921  df-gid 30922  df-ablo 30973  df-vc 30987  df-nv 31020  df-va 31023  df-ba 31024  df-sm 31025  df-0v 31026  df-nmcv 31028  df-hnorm 31396  df-hba 31397  df-hvsub 31399  df-nmop 32267  df-lnop 32269  df-bdop 32270

This theorem is used by:  nmbdoplbi  32452  nmophmi  32459  bdophmi  32460  lnopcnbd  32464  nmopadjlem  32517  nmopadji  32518  nmoptrii  32522  nmopcoi  32523  bdophsi  32524  bdopcoi  32526  nmoptri2i  32527  nmopcoadji  32529  nmopcoadj0i  32531  unierri  32532